Cohomología de de Rham

Cohomología de de Rham

Cohomología de de Rham

En geometría diferencial, las formas diferenciales en la variedad diferenciable que son derivadas exteriores se llaman exactas; y las formas tales que sus derivadas exteriores son 0 se llaman cerradas (véase formas diferenciales cerradas y exactas).

Las formas exactas son cerradas, así que los espacios vectoriales de k-formas junto con la derivada exterior son un complejo de cocadenas. Los espacios vectoriales de las formas cerradas módulo las formas exactas se llaman los grupos de cohomología de de Rham. El producto cuña dota a la suma directa de estos grupos con una estructura de anillo.

El teorema de de Rham, probado por Georges de Rham en 1931, establece que para una variedad diferenciable compacta orientable M, estos grupos son isomorfos como espacios vectoriales reales con los grupos de cohomología singular Hp(M; R). Además, los dos anillos de cohomología son isomorfos (como anillo graduado). El teorema de Stokes generalizado es una expresión de la dualidad entre la cohomología de de Rham y la homología de cadenas complejas.

Formas armónicas

Para la variedad diferenciable M, podemos equiparla con alguna métrica de Riemann auxiliar. Entonces el laplaciano Δ, definido por

*d*d + d*d*

usando la derivada exterior y el dual de Hodge define un operador diferencial lineal homogéneo (en graduación) que actúa sobre el álgebra exterior de la forma diferencial: podemos mirar su acción en cada componente de grado p por separado.

Si M es compacto y orientado, la dimensión de su núcleo que actúa sobre el espacio de p-formas es entonces igual (por la teoría de Hodge) a la del grupo de cohomología de de Rham de grado p: el laplaciano selecciona una forma armónica única en cada clase de cohomología de formas cerradas, en particular el espacio de todo las formas p-armónicas en M es isomorfo a Hp (M; R).

Referencias

Frank Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer-Verlag, 1983

Obtenido de "Cohomolog%C3%ADa de de Rham"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Cohomología de De Rham — En geometría diferencial, las formas diferenciales en la variedad diferenciable que son derivadas exteriores se llaman exactas; y las formas tales que sus derivadas exteriores son 0 se llaman cerradas (véase formas diferenciales cerradas y… …   Wikipedia Español

  • Cohomología de de Rham — En geometría diferencial, las formas diferenciales en la variedad diferenciable que son derivadas exteriores se llaman exactas; y las formas tales que sus derivadas exteriores son 0 se llaman cerradas (véase formas diferenciales cerradas y… …   Enciclopedia Universal

  • Topología algebraica — La Topología algebraica es una rama de la matemática en la que se usan las herramientas del Álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos. Contenido 1 El método de los invariantes algebraicos 2 Resultados en homología 3 …   Wikipedia Español

  • Conjetura de Hodge — La conjetura de Hodge es un importante problema de geometría algebraica todavía no resuelto en el que se relacionan la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular y las subvariedades de esa variedad. En concreto, la… …   Wikipedia Español

  • Forma diferencial — Saltar a navegación, búsqueda En geometría diferencial, es un objeto matemático perteneciente a un espacio vectorial que aparece en el cálculo multivariable, cálculo tensorial o en física. Comúnmente una forma diferencial puede ser entendida como …   Wikipedia Español

  • Formas diferenciales cerradas y exactas — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, en el cálculo vectorial y en la topología diferencial, los conceptos de forma cerrada y forma exacta son definidos para las formas diferenciales, por las ecuaciones d α = 0 para que una forma dada α… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Stokes — El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819 1903), a pesar de que la primera… …   Wikipedia Español

  • Topología diferencial — En la matemática, la topología diferencial es una rama de conocimientos que considera las variedades diferenciables y a las funciones diferenciables entre ellas. Estudia las posibles estructuras diferenciables que las variedades pueden portar. Es …   Wikipedia Español

  • Teoría de haces — En matemática, un haz F sobre un espacio topológico dado, X, proporciona, para cada conjunto abierto U de X, un conjunto F(U), de estructura más rica. A su vez dichas estructuras: F(U), son compatibles con la operación de restricción desde un… …   Wikipedia Español

  • Operador laplaciano — En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”