- Conjetura de Andrica
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Archivo:Andrica conjecture1.PNGAn para los 100 primeros números primos.Archivo:Andrica conjecture2.PNGAn para los 200 primeros números primos.Archivo:Andrica conjecture3.PNGAn para los 500 primeros números primos.
La conjetura de Andrica (por Dorin Andrica) es una conjetura sobre las diferencias entre números primos consecutivos[1]
La conjetura establece que la desigualdad
se cumple para todo n, donde pn es el n-ésimo número primo. Si gn = pn + 1 − pn denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como
Contenido
Evidencia empírica
Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de n menores a 1.3002 x 1016.[2]
El comportamiento de la función discreta
se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de An se producen para n = 1, 2, y 4, con
0,670873 ...,
sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 105 primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que n crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de An cuando n se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.
Generalizaciones
Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:
donde pn es el n-ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.
Es fácil ver que la solución más grande posible x se tiene para n = 1, cuanto xmáx=1. Para la solución más pequeña posible x se ha conjeturado que es xmín
0.567148 ... , que se produce cuando n = 30 y se conoce como la constante de Smarandache.[3]Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:
para x < xmin .
Véase también
Referencias y notas
- ↑ D. Andrica, Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babes-Bolyai Math. 31 (1986), no. 4, 44--48.
- ↑ Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p.13.
- ↑ M.L.Perez. Five Smarandache Conjectures on Primes
Enlaces externos
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