Conjetura abc

Conjetura abc

En teoría de números, la conjetura abc fue formulada por primera vez por Joseph Oesterlé y David Masser en el año 1985.

Expone que, para cualquier \varepsilon > 0 existe una constante Cε > 0, tal que para cada tripleta de números coprimos positivos a, b y c que satisfagan a + b = c\,, tenemos que:

c < C_{\varepsilon} \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon},

donde rad(n) (el radical de n) es el producto de los distintos números primos divisores de n.

A fecha del año 2007, todavía no había sido demostrada.
Una más precisa formulación propuesta en 1996 por Alan Baker afirma que en la desigualdad, se puede reemplazar rad(abc) por ε−ωrad(abc), donde ω es el número total de primos distintos que dividen a a, b o c. Una conjetura relacionada, formulada por Andrew Granville, afirma que en el lado derecho de la inecuación podríamos escribir O(rad(abc) Θ(rad(abc)) donde Θ(n) es el número de enteros hasta n divisibles sólo por primos que dividen a n.

Resultados parciales

1986, C.L. Stewart y R. Tijdeman:

c < \exp{(C_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}) },

1991, C.L. Stewart y Kunrui Yu:

c < \exp{ (C_2 \operatorname{rad}(abc)^{2/3+\epsilon}) },

1996, C.L. Stewart y Kunrui Yu:

c < \exp{ (C_3 \operatorname{rad}(abc)^{1/3+\epsilon}) },

Donde C_1\, es una constante absoluta, C_2\, y C_3\, son constantes positivas computables en función de \epsilon\,.

Véase también

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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