Número imaginario

Número imaginario
Ilustración del plano complejo. Los números imaginarios se encuentran en el eje de coordenadas vertical.

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo(\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=-1). Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a \sqrt{-1} el nombre de i, por imaginario de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Aunque si suponemos un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical, complejo, estos son un concepto totalmente válido. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que \sqrt{-1} era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

En campos de ingeniería eléctrica, electrónica y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.



Propiedades

\ldots (se repite el patrón
de la zona azul)
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
i^5 = i\,
i^6 = -1\,
\ldots (se repite el patrón
de la zona azul)

Todo número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad

i^2 = -1\,\!,

puesto entonces:

(bi)^2 = -b^2 \;

que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

a + bi \,\!

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

\sqrt{-1} = i

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resulta un número imaginario, así por ejemplo:

\sqrt{-36} = \sqrt{(36)(-1)} = \sqrt{36} \, \sqrt{-1} = 6\; i

Estos números extienden el conjunto de los números reales \R al conjunto de los números complejos \mathbb{C}.

Usos

  • La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos, confirmando el teorema fundamental del algebra.
  • Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro número complejo.
  • Gracias a la fórmula de De Moivre los logaritmos de números negativos también son expresables (de manera no unívoca) mediante \ i, así \ ln(-1) = \pi i aunque cualquier número imaginario de la forma \ x = 2(n+1)\pi i satisface que \ e^x = -1. Curiosamente, i^i = e^{\log {i^i}} = e^{i \log{i}} = e^{- {\pi \over2}} \approx 0,2078795764.
  • En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
  • En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.

Véase también

Números
Complejos \mathbb{C}
Reales \mathbb{R}
Racionales \mathbb{Q}
Enteros \mathbb{Z}
Naturales \mathbb{N}
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios


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