Continuidad uniforme

Continuidad uniforme

En análisis matemático una función f(x) se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de x producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios en f(x) depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Contenido

Definición

Dados dos espacios métricos (X,dX) y (Y,dY), y M \subseteq X entonces una función f : M\to Y se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real \epsilon > 0 existe δ > 0 tal que para todo x_1,x_2 \in M con dX(x1,x2) < δ, se tiene que d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon.

Una función f : \R\to \R es uniformemente continua en un intervalo \ A si para todo \epsilon > 0 existe algún δ > 0 tal que para todo x,y \in A se cumple que si | x − y | < δ, entonces |f(x)-f(y)|<\epsilon.[1]

A diferencia de en la continuidad, donde el valor de δ depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas, no.

Ejemplos

  • La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
  • La función x es uniformemente continua en el intevalo [0,1].
  • Todo polinomio p:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} cuyo grado sea menor o igual que uno es uniformemente continuo.

Resultados

  • De la definción se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si x \in \mathbb{R}^{+} y f(x)= \frac{1}{x}. f(x) es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

  • Si (xn) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(xn)) también es una sucesión de Cauchy.
  • Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua.

Notas y referencias

  1. ↑ Spivak, Michael (1992). Cálculo infinitesimal (2 edición). Reverté. ISBN 968-6708-18-9. 

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