- Continuidad uniforme
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En análisis matemático una función f(x) se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de x producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios en f(x) depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).
Contenido
Definición
Dados dos espacios métricos (X,dX) y (Y,dY), y
entonces una función 
se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real 
existe δ > 0 tal que para todo 
con dX(x1,x2) < δ, se tiene que 
.
Una función
es uniformemente continua en un intervalo 
si para todo existe algún δ > 0 tal que para todo 
se cumple que si | x − y | < δ, entonces 
.[1]
A diferencia de en la continuidad, donde el valor de δ depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas, no.Ejemplos
- La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
- La función x es uniformemente continua en el intevalo [0,1].
- Todo polinomio
cuyo grado sea menor o igual que uno es uniformemente continuo.
Resultados
- De la definción se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si
y 
. f(x) es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:
Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).
- Si (xn) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(xn)) también es una sucesión de Cauchy.
- Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua.
Notas y referencias
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