Deducción del módulo de la suma

Deducción del módulo de la suma

Deducción del módulo de la suma

Este artículo presenta una deducción para la expresión del módulo resultante de dos vectores (véase Vector (física) y Módulo (vector))

Deducción

Sean dos vectores \vec{a} y \vec{b} que forman un ángulo θ entre sí:

Imagen de vectores colocados

La fórmula para calcular \left| \vec{a} + \vec{b} \right| se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

OB2 = OC2 + CB2

OB = | \vec{a} + \vec{b} |

OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.

Resultando:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2
+ CB^2

En el triángulo ACB :

\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta

AC = | \vec{b} | \cos \theta

\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta

CB = | \vec{b} | sen \theta

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos
\theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left|
\vec{b} \right|^2 sen^2 \theta

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta +
sen^2 \theta \right)

\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} +
\vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta
+ \left| \vec{b} \right|^2

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}

Obtenido de "Deducci%C3%B3n del m%C3%B3dulo de la suma"

Wikimedia foundation. 2010.

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