El acertijo lógico más difícil del mundo es un título que acuñó George Boolos en La Repubblica 1992 bajo el título L'indovinello più difficile del mondo para el siguiente acertijo lógico inspirado en Raymond Smullyan:

"Tres dioses A, B, y C son llamados, en algún orden, Verdad, Falso, y Aleatorio. Verdad siempre habla expresando la verdad, Falso siempre habla expresando algo falso, pero la respuesta de Aleatorio es completamente aleatoria pudiendo ser verdadera o falsa. Su tarea es determinar las identidades de A, B, y C preguntando tres preguntas cuya respuesta es si o no; cada pregunta debe ser formulada a un único dios. Los dioses entienden español, pero contestarán todas las preguntas en su propio idioma, en el cual las palabras para Si y No son 'da' y 'ja', en algún orden. Usted no sabe que significado se asocia a cada palabra."

Boolos además dio las siguientes aclaraciones:^[1]

• Es posible formularle a un mismo dios más de una pregunta (y por lo tanto puede ocurrir que algún dios no se le haga ninguna pregunta).
• Cuál es la segunda pregunta, y a que dios se le realiza, puede depender de la respuesta que se reciba a la primer pregunta. (Y en forma similar para la tercer pregunta.)
• La decisión sobre si Aleatorio responderá con la verdad o la falsedad puede ser pensado como que depende de arrojar una moneda dentro de su cabeza: si la moneda cae cara él hablará con la verdad; si cae cruz, hablará falsamente.
• Aleatorio responderá 'da' o 'ja' toda vez que se le realice una pregunta Si-No.^[2]

Contenido 1 Historia 2 La solución 2.1 El comportamiento de Aleatorio 3 Véase también 4 Referencias 5 Enlaces externos

Historia

Boolos le da el crédito al lógico Raymond Smullyan como creador del acertijo y a John McCarthy por la dificultad agregada de no conocer el significado de 'da' y 'ja'. Numerosos acertijos relacionados con este se encuentran profusamente en los escritos de Smullyan, por ejemplo en Cuál es el nombre de este libro?, pp. 149-156, describe una isla en Haití donde la mitad de los habitantes son zombies (que siempre mienten) y la otra mitad son humanos (que siempre dicen la verdad) y además explica que "la situación es sumamente complicada ya que si bien todos los nativos entienden el español perfectamente, un antiguo taboo de la isla les prohibe utilizar palabras que no sean nativas para expresarse. Por lo tanto toda vez que se les pregunta una pregunta del tipo Si-No, ellos contestarán 'Bal' o 'Da' - una de las cuales significa Si y la otra No. El problema es que nosotros no sabemos cual de las dos palabras 'Bal' o 'Da' significa Si y cual significa No". Hay otros acertijos relacionados en The Riddle of Scheherazade .

En una forma más general este acertijo está basado en los famosos acertijos Knights and Knaves de Smullyan (en una isla ficticia, todos los habitantes o son caballeros, que siempre dicen la verdad, o escuderos, que siempre mienten. Los acertijos incluyen a un visitante de la isla que debe formular un número de preguntas del tipo por la afirmativa o por la negativa (si/no) para descubrir lo que él desea saber). Una versión de estos acertijos se popularizó en una escena de la película de fantasía, Laberinto con David Bowie. En la misma hay dos puertas con dos guardianes. Un guardian miente y el otro dice la verdad. Una puerta conduce al castillo y la otra conduce a "una muerte segura". El acertijo es descubrir que puerta lleva al castillo haciéndole a uno de los guardias una pregunta. En la película Sarah lo resuelve realizando la pregunta "Es que el otro guardia me diría que esta puerta conduce al castillo?".

Como extensión a este tipo de problemas de lógica proposicional, tenemos la serie de acertijos que Raymond Smullyan presenta bajo el título de "El tigre y la doncella" donde se ha de escoger entre dos puertas el camino hacia la hija del sultán o la muerte segura a manos del felino.

También cabe destacar el capítulo de los Cofres de Porcia que Raymond toma prestado del relato El mercader de Venecia, en el cual se nos presentan varios cofres: oro, plata, plomo, con inscripciones verdaderas y falsas que se hacen referencia entre sí.

La solución

Boolos presentó su solución al acertijo en el mismo artículo en el que publicó el acertijo. Boolos indica que "la primera acción tiene por objetivo encontrar un dios que podamos estar seguros que no es Aleatorio, o sea es Verdad o Falso".^[2] Hay un sinnúmero de preguntas que permitirían encontrar esta información. Una estrategia es utilizar complejos conectores lógicos en las preguntas (por ejemplo bicondicionales o alguna construcción equivalente).

La pregunta de Boolos fue:

• Es que 'da' significa Si si y solo si usted es Verdad si y solo si B es Aleatorio?^[3]

O en forma equivalente:

• Es que un número impar de los siguientes afirmaciones es verdadero: usted es Falso, 'ja' significa si, B es Aleatorio?

Es posible simplificar la solución del acertijo si se utilizan contrafactuales.^{[4] [5]} La clave de esta solución es que para toda pregunta Q del tipo si/no, se debe formular a Verdad o Falso la siguiente pregunta

• Si yo le preguntara a usted Q, usted respondería 'ja'?

la respuesta que se obtendría sería 'ja' si la respuesta verdadera a Q es si, y la respuesta 'da' si la respuesta verdadera a Q es no. La explicación de porque funciona esta pregunta, se puede obtener analizando los ocho casos posibles.

• Suponiendo que 'ja' significa si y que 'da' significa no.

(i) Se le pregunta a Verdad y responde 'ja'. Dado que el dice la verdad la respuesta verdadera a Q es 'ja', que significa si.

(ii) Se le pregunta a Verdad y responde 'da'. Dado que el dice la verdad la respuesta verdadera a Q es 'da', que significa no.

(iii) Se le pregunta a Falso y responde 'ja'. Dado que el miente entonces si se le preguntó Q él encambio responderá 'da'. Como sabemos que el miente, entonces la respuesta verdadera a Q es 'ja', que significa si.

(iv) Se le pregunta a Falso y responde 'da'. Dado que el miente entonces si se le preguntó Q él entonces respondería 'ja'. Como sabemos que el miente, entonces la respuesta verdadera a Q es 'da', que significa no.

• Suponiendo que 'ja' significa no y 'da' significa si.

(v) Se le pregunta a Verdad y responde 'ja'. Dado que el dice la verdad la respuesta verdadera a Q es 'da', que significa si.

(vi) Se le pregunta a Verdad y responde 'da'. Dado que el dice la verdad la respuesta verdadera a Q es 'ja', que significa no.

(vii) Se le pregunta a Falso y responde 'ja'. Dado que el miente entonces si se le preguntó Q él responderá 'ja'. Como estará mintiendo la respuesta verdadera a Q es 'da', que significa yes.

(viii) Se le pregunta a Falso y responde 'da'. Dado que el miente entonces si se le preguntó Q él responderá 'da'. Como estará mintiendo la respuesta verdadera a Q es 'ja', que significa no.

En base a esto el análisis continúa de la forma siguiente.

• Se le pregunta al dios B, "Si yo le preguntara a usted 'Es A Aleatorio?', usted respondería 'ja'?". Si B responde 'ja', entonces o bien B es Aleatorio (y está respondiendo en forma aleatoria), o B no es Aleatorio y la respuesta indica que A es el Aleatorio. En cualquiera de los dos casos, C no es Aleatorio. Si B responde 'da', entonces o bien B es Aleatorio (y está respondiendo en forma aleatoria), o B no es Aleatorio y la respuesta indica que A no es Aleatorio. En cualquiera de los dos casos, A no es Aleatorio.

• Se dirige a uno de los dioses que se ha identificado como que no es Aleatorio mediante la pregunta previa (A o C) y se le pregunta : "Si yo le preguntara a usted 'Es usted Verdad?', usted respondería 'ja'?". Dado que no es Aleatorio, una respuesta 'ja' indica que es él es Verdad y una respuesta 'da' indica que él es Falso.

• Al mismo dios se la realiza la siguiente pregunta: "Si yo le pregunto a usted 'Es B Aleatorio?', su respuesta sería 'ja'?". Si la respuesta es 'ja' entonces B es Aleatorio; si la respuesta es 'da' entonces el dios al cual usted todavía no le ha hablado es Aleatorio. El dios que queda puede ser identificado por un proceso de eliminación.

El comportamiento de Aleatorio

La mayoría de las personas que leen el acertijo suponen que Aleatorio dará respuestas completamente aleatorias a toda pregunta que se le formule a él; sin embargo, no es eso lo que dice el acertijo. De hecho, en el tercer comentario aclaratorio de Boolos él refuta esta interpetación en forma específica.

• Si Aleatorio dice la verdad o no debe ser interpretado como dependiendo del resultado de arrojar una moneda que se encuentra en su cabeza: si la moneda sale cara, él responderá con la verdad; si sale cruz responderá con la mentira.

O sea Aleatorio actua aleatoriamente diciendo la verdad o mintiendo, lo que significa que Aleatorio no responde las preguntas en forma aleatoria.

Véase también

• George Boolos
• Raymond Smullyan
• Knights and Knaves
• Logic Puzzle

Referencias

• T.S. Roberts, Some Thoughts About The Hardest Logic Puzzle Ever (Journal of Philosophical Logic 30:609–612(4), December 2001).
• Brian Rabern and Landon Rabern, A Simple Solution to the Hardest Logic Puzzle Ever (Analysis, 68.2, forthcoming, April 2008).
• Raymond Smullyan, What is the Name of This Book? (Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1978).
• Raymond Smullyan, The Riddle of Sheherazade (A. A. Knopf, Inc., New York, 1997).

Enlaces externos

• George Boolos. The hardest logic puzzle ever. The Harvard Review of Philosophy, 6:62–65, 1996.
• Roberts T.S. Some thoughts about the hardest logic puzzle ever. Journal of Philosophical Logic, 30:609–612(4), December 2001.
• An illustration of the puzzle
• Un Tesoro al Día