- Entero de Eisenstein
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Entero de Eisenstein
En matemáticas, los enteros de Eisenstein, llamados así por Ferdinand Eisenstein, son números complejos de la forma
donde a y b son números enteros y
es una raíz cúbica de la unidad compleja.
Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el campo de números algebraicos Q(√−3). También forman un dominio euclidiano.
Para ver que los enteros de Eisenstein son enteros algebraicos nótese que cada z = a + bω es una raíz del polinomio mónico
- z2 − (2a − b)z + (a2 − ab + b2).
En particular, ω satisface la ecuación
- ω2 + ω + 1 = 0.
Si x e y son enteros de Eisenstein, diremos que x divide a y si existe algún entero de Eisenstein z tal que
- y = z x.
Esto extiende la noción de divisibilidad para los enteros ordinarios. Por lo tanto, podremos también extender la noción de primalidad; un entero de Eisenstein x será un primo de Eisenstein si sus únicos divisores son
(excepto por que no consideraremos ±1, ±ω o ±ω² en sí mismos como primos de Eisenstein — son unidades en el anillo de los enteros.
Contenido
Relación con los primos de forma x² − xy + y²
Puede demostrarse que un primo de la forma x2 − xy + y2 puede ser factorizado en (x + ωy)(x + ω2y) y por lo tanto no es primo entre los enteros de Eisenstein. Nótese también que un número de la forma x² − xy + y² es primo si y solo si x + ωy es un primo de Eisenstein.
Dominio euclidiano
El anillo de los enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma v es
- v(a + ωb) = a2 − ab + b2.
Esto puede derivarse embebiendo los enteros de Eisenstein en los complejos: puesto que
- v(a + ib) = a2 + b2
y puesto que
se deduce que
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Véase también
- Primo de Eisenstein
- Entero gaussiano
- Anillo de Kummer
Enlaces externos
- Entero de Eisenstein en MathWorld (en inglés)
La versión inicial de este artículo es una adaptación de en:Eisenstein integer de Wikipedia en inglés.
Categorías: Teoría de números | Números algebraicos
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