Epicicloide

Epicicloide

Epicicloide

La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radius R = 3).

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

Contenido

Ecuación

Epicicloide.png

Considerando la figura podemos escribir:

x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ - r_2\ cos \gamma

y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ + r_2\ sen \gamma

con γ = α + β − π / 2 y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta. De aquí se tiene que \beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: x=(r_1+r_2)sen\ \alpha\ -r_2\ sen\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]

y=(r_1+r_2)cos\ \alpha\ -r_2\ cos\ [\alpha (1+\frac {r_1}{r_2})]

Casos particulares

Cuando \frac {r_1}{r_2} es un número racional, i.e., k = \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=r2, i.e, k = 1 tenemos el cardioide

Si \frac {r_1}{r_2} es irracional, la curva es trascendente y cubre completamente la región entre los radios r1 y r2.

Ejemplos

ejemplos de epicicloides

k=1

k=2

k=3

k=4

k=2.1=21/10

k=3.8=19/5

k=5.5=11/2

k=7.2=36/5

Véase también

Referencias en la Web

Obtenido de "Epicicloide"

Wikimedia foundation. 2010.

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