Hipocicloide

Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parámetros: R = 3, r = 1, k = 3.

Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

Contenido

Ecuación paramétrica

La ecuación paramétrica de una curva hipocicloide generada por un punto de una circunferencia de radio r2 que rueda dentro de una circunferencia de radio r1, es:


x=(r_1-r_2)sen\ \alpha\ - r_2\ cos \gamma

y=(r_1-r_2)cos\ \alpha\ - r_2\ sen \gamma

Pero \displaystyle \gamma = \alpha+\beta-\pi / 2 , además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, es decir: r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta. De aquí se tiene que \displaystyle \beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] se obtiene la ecuación paramétrica de la hipocicloide:

x=(r_1-r_2)sen\ \alpha\ -r_2\ sen\ [\alpha (\frac {r_1}{r_2}-1)]

y=(r_1-r_2)cos\ \alpha\ +r_2\ cos\ [\alpha (\frac {r_1}{r_2}-1)]

Casos particulares

Cuando \frac {r_1}{r_2} es un número racional, es decir, \displaystyle \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}, siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)

Si \displaystyle \frac {r_1}{r_2} es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

Ejemplos

  • k=3

  • k=4

  • k=5

  • k=6

  • k=2.1

  • k=3.8

  • k=5.5

  • k=7.2

  • Las curvas hipocicloides son una clase especial de hipotrocoides, las cuales a su vez son una clase particular de ruleta.
  • La hipocicloide de tres puntas se denomina curva deltoide.
  • La hipocicloide de cuatro puntas se llama astroide.

Véase también

Referencias en la Web


Wikimedia foundation. 2010.

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