Hipocicloide

Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parámetros: R = 3, r = 1, k = 3.

Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

Contenido

Ecuación paramétrica

La ecuación paramétrica de una curva hipocicloide generada por un punto de una circunferencia de radio r2 que rueda dentro de una circunferencia de radio r1, es:


x=(r_1-r_2)sen\ \alpha\ - r_2\ cos \gamma

y=(r_1-r_2)cos\ \alpha\ - r_2\ sen \gamma

Pero \displaystyle \gamma = \alpha+\beta-\pi / 2 , además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, es decir: r_1\ \alpha =l_1=l_2=r_2\ \beta. De aquí se tiene que \displaystyle \beta = \frac {r_1}{r_2} \alpha

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] se obtiene la ecuación paramétrica de la hipocicloide:

x=(r_1-r_2)sen\ \alpha\ -r_2\ sen\ [\alpha (\frac {r_1}{r_2}-1)]

y=(r_1-r_2)cos\ \alpha\ +r_2\ cos\ [\alpha (\frac {r_1}{r_2}-1)]

Casos particulares

Cuando \frac {r_1}{r_2} es un número racional, es decir, \displaystyle \frac {r_1}{r_2}=\frac {p}{q}, siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.

Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)

Si \displaystyle \frac {r_1}{r_2} es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

Ejemplos

  • k=3

  • k=4

  • k=5

  • k=6

  • k=2.1

  • k=3.8

  • k=5.5

  • k=7.2

  • Las curvas hipocicloides son una clase especial de hipotrocoides, las cuales a su vez son una clase particular de ruleta.
  • La hipocicloide de tres puntas se denomina curva deltoide.
  • La hipocicloide de cuatro puntas se llama astroide.

Véase también

Referencias en la Web


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

  • hipociclóide — s. f. [Geometria] Espécie de curva transcendente.   ♦ Grafia de hipocicloide antes do Acordo Ortográfico de 1990 …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • hipocicloide — |ói| s. f. [Geometria] Espécie de curva transcendente …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • hipocicloide — (De hipo y cicloide). f. Geom. Línea curva descrita por un punto dado de una circunferencia que rueda dentro de otra fija, conservándose tangentes. U. t. c. adj.) …   Diccionario de la lengua española

  • hipocicloide — ► sustantivo femenino GEOMETRÍA Línea curva descrita por un punto de una circunferencia que rueda dentro de otra fija, conservándose ambas tangentes. * * * hipocicloide (de «hipo » y «cicloide») f. Geom. *Curva descrita por un punto de una… …   Enciclopedia Universal

  • Curva cíclica — Saltar a navegación, búsqueda Una curva cíclica es la generada por el movimiento de un punto vinculado a una circunferencia (o recta) que rueda sobre otra circunferencia (o recta) sin resbalar . Se denomina curva directriz o base a la considerada …   Wikipedia Español

  • Generatriz — La generatriz[1] es una línea que a causa de su movimiento conforma una figura geométrica, que a su vez depende de la directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva.[2] Si la generatriz es una línea recta que gira respecto de otra… …   Wikipedia Español

  • Ruleta (geometría) — Saltar a navegación, búsqueda Ruleta, en matemática, se denomina a la curva plana que describe la trayectoria de un punto, vinculado a una curva generatriz C1, que rueda sobre otra curva directriz C2, tangencialmente, sin deslizamiento. Tanto C1… …   Wikipedia Español

  • Astroide — Saltar a navegación, búsqueda No confundir con asteroide. Astroide …   Wikipedia Español

  • Cicloide — Una cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse. Contenido 1 Historia 2 Ecuaciones …   Wikipedia Español

  • Directriz — Saltar a navegación, búsqueda Una directriz[1] se dice de aquello que marca las condiciones en que se genera algo. En geometría la directriz es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea,… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”