Cicloide

Cicloide
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Una cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.

Contenido

Historia

La cicloide fue estudiada por primera vez por Nicolás de Cusa y, posteriormente, por Mersenne (monje, amigo de Descartes). Galileo en el año 1599 estudió la curva y fue el primero en darle el nombre con la que la conocemos. Galileo intentó averiguar el área de esta curva sumando diferentes segmentos rectos situados sobre la misma, mediante aproximación. Algunos años después, en 1634, G.P. de Roberval mostró que el área de la región de un bucle de cicloide era tres veces el área correspondiente a la circunferencia que la genera. En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.

En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli. La cicloide se emplea para resolver el problema tautocrono (Descubierto por Christian Huygens), en el que si despreciamos el rozamiento y si invirtiésemos una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, ésta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.

Entre las demostraciones acerca de sus propiedades se encuentra el matemático René Descartes que obtuvo mediante demostraciones efectivas y elegantes la fórmula de la recta tangente en un punto cualquiera del arco de la cicloide, empleando técnicas que después desarrollaría como la ciencia de la geometría diferencial.

A causa de las continuas disputas entre los matemáticos del siglo XVII la cicloide ha sido denominada "La Elena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan esta denominación poética hacia las bellas propiedades de esta curva. Sus propiedades atraen a los matemáticos de la época. En el año 1658 Blaise Pascal lanza un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar, ya sea en torno al eje de las abcisas, o en torno al eje de las ordenadas, o bien, en torno al eje de simetría del arco de cicloide. Fueron muchos los esfuerzos realizados en el siglo XVII para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que han permitido desarrollar un gran número de aplicaciones industriales.

Ecuaciones

Ecuación paramétrica

Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio a que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:

\begin{cases} x = a \left(t - \sin{t}\right) \\ y = a \left(1 - \cos{t}\right) \end{cases}

donde t es un parámetro real. Siendo la variable y función de la variable x, esta cicloide tiene un período de 2aπ, y una altura de 2a.

Ecuación cartesiana

Si se despeja la variable t en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:

x= a \arccos{\left(1-\frac{y}{a}\right)}-\sqrt{2a y-y^2},

donde el único parámetro de forma es el radio a de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable y en el intervalo [0,2a], y proporciona sólo la mitad del primer bucle de la cicloide.

Si se desea emplear el n-ésimo semi-bucle de la cicliode, se puede utilizar la siguiente ecuación:

x= a \pi \left[n + 1/2 \left[ \left(-1\right)^n -1 \right]\right] -(-1)^n\left[\arccos{\left(1-\frac{y}{a}\right)}-\sqrt{2ay - y^2}\right]

Ecuación intrínseca

La ecuación en forma intrínseca es:

\rho^2 + s^2= 16 a^2 \,

Donde igualmente ρ representa el radio de la curva es la abscisa curvilínea.

Tipos de cicloide

Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:

  • cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (b < a),
  • cicloide común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (a = b),
  • cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (b > a).

Donde la circunferencia tiene radio a, y la distancia del centro al punto P es b.

Usos

En el diseño de los dientes de los engranajes se emplean curvas cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630). En Física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.

Un uso practico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronaútica, pues se requería una forma apropiada de salir deslizándose desde un avión en caso de emergencia.

Véase también

Referencias

  • Curvas en la Historia, Volumen I, José Manuel Álvarez, Ed. Nivola ciencia abierta 12, 2006.
  • A Catalog of Special Plane Curces, J. Dennis Lawrence, with 98 Ilustrations, Dover Publications, New York. 1972. (Capítulo 7 Trascendental Curves).

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