Factorización de rango

Factorización de rango

Factorización de rango

Dada una matriz A, de dimensiones m \times n y de rango r, una descomposición de rango de A es un producto A = CF, donde C es una matriz m \times r y F es una matriz r \times n.

Para construir una factorización de este tipo se puede calcular B, la forma escalonada reducida de A. Entonces C se obtiene eliminando de A todas las columnas que no son columnas pivote, y F eliminando todas las filas de ceros de B.

Ejemplo

Considérese la matriz

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B\text{.}

B está en forma escalonada reducida. Entonces C se obtiene eliminando la tercera columna de A, la única que no es columna pivote, y F eliminando la última fila de ceros, de modo que

C = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 8 \end{bmatrix}\text{,}\qquad F = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\text{.}

Es inmediato comprobar que

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = CF\text{.}

Demostración

Sea P una matriz n\times n de permutación tal que AP = (C,D) en en forma de bloques, donde las columnas de C son las r columnas pivote de A. Cada columna de D es una combinación lineal de las columnas de C, luego hay una matriz G tal que D = CG, donde las columnas de G contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Así pues, AP = (C,CG) = C(Ir,G), siendo Ir la matriz identidad r\times r. Mostraremos a continuación que (Ir,G) = FP.

Transformar AP en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz E que es un producto de matrices elementales, con lo que EAP = BP = EC(Ir,G), donde EC=\begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix}. Podemos entonces escribir BP=\begin{pmatrix} I_r & G \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, lo que nos permite identificar (Ir,G) = FP, es decir, las r filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz A. Tenemos, por tanto, que AP = CFP, y como P es invertible, esto implica que A = CF, lo que completa la prueba.

Referencias

  • Lay, David C. (2005), Linear Algebra and its Applications (3rd edición), Addison Wesley, ISBN 978-0201709704 
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd edición), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0801854149 
  • Stewart, Gilbert W. (1998), Matrix Algorithms. I. Basic Decompositions, SIAM, ISBN 978-0-898714-14-2 
Obtenido de "Factorizaci%C3%B3n de rango"

Wikimedia foundation. 2010.

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