Formas Canónicas (Álgebra de Boole)

Formas Canónicas (Álgebra de Boole)

Formas Canónicas (Álgebra de Boole)

En Álgebra booleana, se conoce como término canónico de una función lógica a todo producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o inversa. Una Función lógica que está compuesta por operador lógico puede ser expresada en forma canónica usando los conceptos de minterm y maxterm. Todas las funciones lógicas son expresables en forma canónica, tanto como una "suma de minterms" como "producto de maxterms". Esto permite un mejor análisis para la simplificación de dichas funciones, lo que és de gran importancia para la minimización de circuitos digitales.

Una función booleana expresada como una disyunción lógica (OR) de minterms es usualmente conocida la "suma de productos", y su Dual de Morgan es el "producto de sumas", la cual es una función expresada como una conjunción lógica (AND) de maxterms.

Contenido

Minitérminos

Para una función booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minitérmino. Es decir, un minitérmino es una expresión lógica de n variables consistente únicamente en el operador conjunción lógica (AND) y el operador complemento o negación (NOT).

Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minterms para una función booleana con las tres variables a, b y c.

Indexando minitérminos


   \begin{array}{|c|c l||c|c|c|}
      \hline
      n & m & & a & b & c \\
      \hline
      0 & m_0= & a'b'c'& 0 & 0 & 0 \\
      1 & m_1= & a'b'c & 0 & 0 & 1 \\
      2 & m_2= & a'b c'& 0 & 1 & 0 \\
      3 & m_3= & a'b c & 0 & 1 & 1 \\
      4 & m_4= & a b'c'& 1 & 0 & 0 \\
      5 & m_5= & a b'c & 1 & 0 & 1 \\
      6 & m_6= & a b c'& 1 & 1 & 0 \\
      7 & m_7= & a b c & 1 & 1 & 1 \\
      \hline
   \end{array}

En general, uno asigna a cada minterm (escribiendo las variables que lo componen en el mismo orden), un índice basado en el valor binario del minterm.

Un término negado, como a' es considerado como el número binario 0 y el término no negado a es considerado como un 1.

Por ejemplo, se asociaría el número 6 con abc', y nombraríamos la expresión con el nombre m6. Entonces m0 de tres variables es a'b'c' y m7 debería ser abc al ser 111(2.

Se puede observar que cada minterm solo devuelve verdadero, (1), con una sola entrada de las posibles.

Por ejemplo, el minitérmino 5, ab'c es verdadero solo cuado a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da resultado 1.


Función equivalente


   \begin{array}{|c||c|c||c|}
      \hline
      n & a & b & f(a,b) \\
      \hline
      0 & 0 & 0 & 1 \\
      1 & 0 & 1 & 0 \\
      2 & 1 & 0 & 0 \\
      3 & 1 & 1 & 1 \\
      \hline
   \end{array}

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica: f(a,b), es posible escribir la función como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas con resultado '1 son la primera y la cuarta, entonces podremos escribir f como la suma de los minitérminos: f(a,b) = m0 + m3.

Si queremos verificar esto:

f(a,b) = m0 + m3 = (a'b') + (ab)

tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

 a \,  b \,
TE Conex 05.svg TE Interu 07.svg TE Conex 12.svg TE Interu 07.svg TE Conex 09.svg
TE Conex 14.svg TE Interu 08.svg TE Conex 12.svg TE Interu 08.svg TE Conex 14.svg

Esta expresión aplicada a interruptores seria el de la figura, se puede ver que hay dos ramas, en la superior dos interruptores inversos: a’ y b’ puestos en serie, lo que es equivalente a a’b’, en la inferiores directos: a y b también en serie que es equivalente a ab, estos dos circuitos puestos en paralelo resultan a’b’ + ab.


Maxitérminos

Un maxitérmino es una expresión lógica de n variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación. Los maxterms són una expresión dual de los minitérminos. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar.

Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:

a + b' + c
a' + b + c

Dualización


   \begin{array}{|c|c l|c l||c|c|c|}
      \hline
      n & M & & m & & a & b & c \\
      \hline
      0 & M_0= & a + b + c & m_0= & a'b'c'& 0 & 0 & 0 \\
      1 & M_1= & a + b + c'& m_1= & a'b'c & 0 & 0 & 1 \\
      2 & M_2= & a + b'+ c & m_2= & a'b c'& 0 & 1 & 0 \\
      3 & M_3= & a + b'+ c'& m_3= & a'b c & 0 & 1 & 1 \\
      4 & M_4= & a'+ b + c & m_4= & a b'c'& 1 & 0 & 0 \\
      5 & M_5= & a'+ b + c'& m_5= & a b'c & 1 & 0 & 1 \\
      6 & M_6= & a'+ b'+ c & m_6= & a b c'& 1 & 1 & 0 \\
      7 & M_7= & a'+ b'+ c'& m_7= & a b c & 1 & 1 & 1 \\
      \hline
   \end{array}

El complemento de un minterm es su respectivo maxitérmino. Esto puede ser fácilmente verificado usando la Ley de De Morgan. Por ejemplo:

m1' = M1
(a'b)' = a + b'

Indexando maxitérminos

Para indexar maxitérminos lo haremos justo de la forma contraria a la que seguimos con los minterms. Se asigna a cada maxterm un índice basado en el complemento del número binario que representa (otra vez asegurándonos que las variables se escriben en el mismo orden, usualmente alfabético). Por ejemplo, para una función de tres variables f(a,b,c) podemos asignar M6 (Maxitérmino 6) al maxitérmino: a' + b' + c. De forma similar M0 de tres variables debería ser a + b + c y M7 es a' + b' + c'.

Se puede ver fácilmente que un maxitérmino sólo da como resultado un cero para una única entrada de la función lógica. Por ejemplo, el maxitérmino 5, a + b' + c, es falso solo cuando a y c son ciertos y b es falso - la entrada a = 1, b = 0, c = 1 da como resultado un cero.

Función equivalente


   \begin{array}{|c||c|c||c|}
      \hline
      n & a & b & f(a,b) \\
      \hline
      0 & 0 & 0 & 1 \\
      1 & 0 & 1 & 0 \\
      2 & 1 & 0 & 0 \\
      3 & 1 & 1 & 1 \\
      \hline
   \end{array}

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, f(a,b), es posible escribir la función como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la segunda y la tercerra, entonces podemos escribir f como un producto de maxitérminos M1M2.

Si queremos verificar esto:

f(a,b) = (a + b')(a' + b)

tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma.

 a \longrightarrow TE Conex 05.svg TE Interu 01.svg TE Conex 09.svg TE Conex 05.svg TE Interu 03.svg TE Conex 09.svg
 b \longrightarrow TE Conex 14.svg TE Interu 03.svg TE Conex 14.svg TE Conex 14.svg TE Interu 01.svg TE Conex 14.svg


 a \,
 Ent. \, TE Conex 13.svg TE Conex 12.svg TE Interu 07.svg TE Conex 09.svg
 Sal. \, TE Conex 16.svg TE Conex 13.svg TE Interu 08.svg TE Conex 11.svg
TE Conex 03.svg TE Conex 03.svg TE Conex 00.svg TE Conex 03.svg
TE Conex 03.svg TE Conex 06.svg TE Interu 07.svg TE Conex 11.svg
TE Conex 06.svg TE Conex 12.svg TE Interu 08.svg TE Conex 10.svg
 b \,

La aplicación en un circuito de interruptores, es el del esquema, donde se puede ver los dos interruptores superiores a y a', y los inferiores b' y b.

En primer lugar tenemos puestos en paralelo a y b', lo que seria a+b', y a continuación, a' y b en paralelo que seria a'+b, estos dos circuitos parciales puestos en serie son equivalentes a (a+b')(a'+b), las distintas combinaciones de a y b, corresponden, como se puede ver a la tabla de verdad.

Este circuito y el anterior son claramente diferentes, pero los dos corresponden a la misma tabla de verdad y por lo tanto equivalentes.

Aun partiendo de la misma expresión booleana, se pueden realizar distintas configuraciones equivalentes, así se puede ver en esta segunda figura.

Se puede demostrar la equivalencia, simplificando la función, partiendo de:

f(a,b) = (a + b')(a' + b)

Realizando las multiplicaciones, tendremos:

f(a,b) = aa' + ab + b'a' + b'b

Simplificando:

f(a,b) = ab + b'a'

con lo que tenemos la función obtenida por minitérminos.

Véase también

Obtenido de "Formas Can%C3%B3nicas (%C3%81lgebra de Boole)"

Wikimedia foundation. 2010.

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