Fórmula de Faulhaber

Fórmula de Faulhaber

En Matemáticas, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expresa la suma de las potencias de los primeros n números naturales

\sum_{k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p

como un polinomio en n de grado (p + 1) cuyos coeficientes se construyen a partir de los números de Bernoulli.

La fórmula es la siguiente:

\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{con } B_1 = +{1 \over 2} \mbox{ en vez de }-{1 \over 2}\right)

Faulhaber no conoció nunca esta fórmula general, lo que él sí que conoció fueron al menos los primeros 17 casos y el hecho de que, si el exponente es impar, entonces la suma es una función polinomial de la suma en el caso especial en el que el exponente sea 1. Él también hizo algunas generalizaciones (véase Knuth).

La demostración de la fórmula de Faulhaber se puede encontrar en The Book of Numbers de John Horton Conway y Richard Guy.


Contenido

Los primeros casos

1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}
1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}
1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}
1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}

Forma alternativa

Si el índice de suma de la serie va desde 1 hasta n − 1 en vez desde 1 hasta n, estas fórmulas se modifican de tal manera que el único cambio es que tomamos B1 = − 1 / 2 en vez de +1/2 (es decir, en este caso en la fórmula sólo intervienen números de Bernoulli), así, el segundo término de mayor orden en todos los resultados anteriores cabía el signo de suma por el de diferencia.

Relación con los polinomios de Bernoulli

La fórmula de Faulhaber se puede escribir en función de los polinomios de Bernoulli así:

\sum_{k=0}^{n} k^p = \frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1},

Forma Umbral

En el cálculo umbral clásico, se trata formalmente a los índices j en una secuencia Bj como si estos fueran exponentes. Haciendo esto, podemos aplicar el teorema del binomio y obtener:

\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j} = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B^j n^{p+1-j}


= {(B+n)^{p+1} - B^{p+1} \over p+1}.

En el cálculo umbral moderno, se construye el funcional lineal T en el espacio vectorial de polinomios en una variable b dada por:

T(b^j) = B_j.\,

Entonces se obtiene

\sum_{k=1}^n k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j} = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} T(b^j) n^{p+1-j}


= {1 \over p+1} T\left(\sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} b^j n^{p+1-j} \right) = T\left({(b+n)^{p+1} - b^{p+1} \over p+1}\right).

Polinomios de Faulhaber

Faulhaber observó que, si p es impar, entonces

1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p\,

es un polinomio en a, donde a es la suma de los n primeros naturales:

a=1+2+3+\cdots+n.\,

En particular se tiene:

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = a^2\,


1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {4a^3 - a^2 \over 3}


1^7 + 2^7 + 3^7 + \cdots + n^7 = {12a^4 -8a^3 + 2a^2 \over 6}


1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + n^9 = {16a^5 - 20a^4 +12a^3 - 3a^2 \over 5}


1^{11} + 2^{11} + 3^{11} + \cdots + n^{11} = {32a^6 - 64a^5 + 68a^4 - 40a^3 + 5a^2 \over 6}.

La primera de estas identidades es el teorema de Nicomachus. Algunos autores llaman a los polinomios de la derecha de estas identidades "polinomios de Faulhaber en a".

Referencias

  • MathWorld: urlname: FaulhabersFormula. Faulhaber's formula
  • "Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Academia Algebrae, Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631.

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Fórmula de Euler-Maclaurin — En matemáticas, la fórmula de Euler Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infnitas) resolviendo integrales. La… …   Wikipedia Español

  • Faulhaber's formula — In mathematics, Faulhaber s formula, named after Johann Faulhaber, expresses the sum:sum {k=1}^n k^p = 1^p + 2^p + 3^p + cdots + n^pas a ( p + 1)th degree polynomial function of n , the coefficients involving Bernoulli numbers.Note: By the most… …   Wikipedia

  • Faulhaber-Formel — Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber, beschreibt, wie sich die Summe der ersten n p ten Potenzen mit einem Polynom in n vom Grad p+1 berechnen lässt. Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli… …   Deutsch Wikipedia

  • Faulhaber-Polynom — Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber, beschreibt, wie sich die Summe der ersten n p ten Potenzen mit einem Polynom in n vom Grad p+1 berechnen lässt. Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli… …   Deutsch Wikipedia

  • Faulhaber Formel — Die Faulhabersche Formel, benannt nach Johannes Faulhaber, beschreibt, wie sich die Summe der ersten n p ten Potenzen mit einem Polynom in n vom Grad p+1 berechnen lässt. Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli… …   Deutsch Wikipedia

  • Johann Faulhaber — (5 May 1580 – 10 September 1635) was a German Mathematician. Born in Ulm, Faulhaber was a trained weaver who later took the role of a surveyor of the city of Ulm. He collaborated with Johannes Kepler and Ludolph van Ceulen. Besides his work on… …   Wikipedia

  • Euler–Maclaurin formula — In mathematics, the Euler–Maclaurin formula provides a powerful connection between integrals (see calculus) and sums. It can be used to approximate integrals by finite sums, or conversely to evaluate finite sums and infinite series using… …   Wikipedia

  • Bernoulli number — In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers with deep connections to number theory. They are closely related to the values of the Riemann zeta function at negative integers. There are several conventions for… …   Wikipedia

  • Serie matemática — En matemáticas, una serie es la generalización de la suma a los términos de una sucesión. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más… …   Wikipedia Español

  • Diferencia finita — Saltar a navegación, búsqueda Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”