Teorema del binomio

Teorema del binomio

En matemática, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de {n\choose k} (que también es representado ocasionalmente como C(n,k) o C^n_k ) se obtiene una tercera representación:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k

El coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es {n\choose k}

donde {n\choose k} recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n


Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

(2) \begin{cases} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,

Contenido

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) {(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^{k}}

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Calcular Binomio

Para calcular un Binomio de Newton estilo {n \choose k} podemos hacer de forma sencilla:

{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Historia

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bien por integración.

El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.

Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

El teorema binómico para n=2 se en encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fue introducido por Michel Stifer en el siglo XVI.

Véase también

Referencias

«Isaac Newton - Teorema del binomio».


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