Función polinómica de grado 2

De vital importancia en matemáticas y física es la función cuadrática o de segundo grado.

Una función polinómica de grado dos o función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

Gráficas de funciones cuadráticas.

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

$y = f(x) \,$

esto es:

$y = ax^2 + bx + c \,$

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Contenido

1 Estudio de la función
2 Determinar la ecuación conocidos tres puntos.
3 Véase también

Estudio de la función

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,$

lo que resulta:

$y = f(0) = c \,$

la función corta el eje y en el puntodfgdasfhstrh (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

donde:

$b^2 - 4 a c \,$

se le llama discriminante, Δ:

$\Delta = b^2 - 4 a c \,$

según el signo del discriminante podemos distinguir:

Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: $x 1$ y $x 2$ .

Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en $x 1$ , la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Forma factorizada

Todo función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

se puede factorizar como:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de $x 2$ sería siempre 1. $x 1$ y $x 2$ representan las raíces de $f (x)$ . En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces $x 1 = x 2$ por lo que podríamos escribir:

$f(x) = a(x - x_1)^2 \,$

En este caso a $x 1$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:

Dado:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

$f(x) = a \left ( x^2 + \frac{b}{a} x \right ) + c \,$

Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

$f(x) = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4 a^2} \right ) + c - \frac{b^2}{4 a}$

Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

$f(x) = a \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

sustituyendo:

$h = \frac{-b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$

la expresión queda:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

$y = ax^2 + bx + c \,$

calculamos su derivada respecto a x:

$\frac{dy}{dx} = 2ax + b$

que si la igualamos a cero, tenemos:

$2ax + b = 0 \,$

donde x valdrá:

$x = \frac{-b}{2a}$

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo, mínimo o relativo de la función.

Determinar la ecuación conocidos tres puntos.

Partiendo de la forma de la ecuación:

$y = ax^2 +bx +c \,$

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinomica de segundo grado:

$(x_1,y_1), \; (x_2,y_2), \; (x_3,y_3)$

se cumplira que:

$\left \{ \begin{matrix} y_1 = ax_{1}^2 +bx_1 +c \\ y_2 = ax_{2}^2 +bx_2 +c \\ y_3 = ax_{3}^2 +bx_3 +c \end{matrix} \right .$

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Véase también

Ecuación cuadrática

Polinomio

Funciones matemáticas

Geometría analítica

Pendiente de una recta

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Categorías: Funciones reales | Geometría analítica | Polinomios

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