Función de Chebyshov

En matemáticas, la función de Chebyshov es alguna de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshov ϑ(x) o θ(x) se expresa como:

$\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log p$

con el sumatorio comprendiendo todos los números primos p menores que x. La segunda función de Chebyshov $ψ(x)$ se define como:

$\psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n),$

donde $Λ$ es la función de von Mangoldt. Se usa frecuentemente la función de Chebyshov en pruebas relacionadas con los números primos, ya que es más fácil de usar que la función contadora de primos, $π(x)$ . Ambas funciones son asintóticas a $x$ , lo cual equivale al teorema de los números primos.

Ambas funciones se llaman así en recuerdo de Pafnuti Chebyshov.

Contenido

1 Propiedades
2 Relaciones
3 Una fórmula exacta
4 Comportamiento asintótico
5 Aplicación a la formulación variacional
6 Referencias
7 Enlaces externos

Propiedades

Un teorema de Erhard Schmidt asegura que, para cualquier real, positivo K, existen valores de x tal que

$\psi(x)-x < -K\sqrt{x}$

$\psi(x)-x > K\sqrt{x}$

se cumple en infinitas ocasiones.^[1] La plantilla {{ref}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.^[2] La plantilla {{ref}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias. En notación O, podríamos expresar lo anterior como

$\psi(x)-x \ne O\left(\sqrt{x}\right).$

Hardy y Littlewood^[3] La plantilla {{ref}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias. probaron un resultado mas fuerte:

$\psi(x)-x \ne O\left(\sqrt{x}\log\log\log x\right).$

Relaciones

La segunda función de Chebyshov puede relacionarse con la primera escribiéndola como

$\psi(x)=\sum_{p\le x} k \log p$

donde k es el único entero que cumple $p^k\le x$ pero $p k + 1 > x$ . Una relación más directa es la dada por

$\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \vartheta \left(x^{1/n}\right).$

Nótese que este última suma sólo tiene un número finito de sumandos que no se cancelan, ya que

$\vartheta \left(x^{1/n}\right) = 0$ para

n > log 2 x .

La segunda función de Chebyshov es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los enteros comprendidos entre 1 y n.

$\operatorname{mcm}(1,2,\dots n)=e^{\psi(n)}.$

Relación con la función $Π(x)$

La función de Chebyshov puede ser relacionada con la función $π(x)$ de la siguiente manera. Defina

$\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.$

Entonces

$\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.$

La relación entre $Π(x)$ y la función contadora de primos, $π(x)$ , se tiene en la siguiente ecuación

$\Pi(x) = \pi(x) + \frac{1}{2} \pi(x^{1/2}) + \frac{1}{3} \pi(x^{1/3}) + \cdots.$

Ciertamente $\pi(x) \leq x$ , de manera que la última relación se puede escribir en la forma

$\pi(x) = \Pi(x) + O(\sqrt x).$

Relación con los primordiales

La primera función de Chebyshov es el logaritmo de el primorial de x, denotado por x#:

$\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log p=\log \prod_{p\le x} p = \log x\#.$

Esto prueba que el primordial x# es asintóticamente igual a exp((1+o(1))x), donde "o" es el símbolo de Landau (ó notación o-pequeña, véase notación O) y junto con el teorema de los números primos, establece un comportamiento asintótico de p_n#.

Relación con la función suavizante

La función suavizante se define como

$\psi_1(x)=\int_0^x \psi(t)\,dt.$

Se puede demostrar que

$\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.$

Una fórmula exacta

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt halló^[4] La plantilla {{ref}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias. una expresión explícita para $ψ(x)$ , que contiene una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann:

$\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \frac{1}{2} \log (1-x^{-2}).$

donde $ρ$ recorre todos los ceros no triviales de la función zeta, y

$\psi_0(x) = \begin{cases} \psi(x) - \frac{1}{2} \Lambda(x) & x = p^m \mbox{, } p \mbox{ primo, } m \mbox{ natural} \\ \psi(x) & \mbox{en caso contrario.} \end{cases}$

En la serie de Taylor para el logaritmo, el último término de la fórmula explícita puede ser interpretado como el sumatorio de $- x ω / ω$ sobre todos los ceros no triviales de la función zeta, $\omega = -2, -4, -6, \ldots$ , es decir,

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2k} = \frac{1}{2} \log ( 1 - x^{-2} ).$

Comportamiento asintótico

Pierre Dusart^[5] La plantilla {{ref}} está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias. probó los siguientes comportamientos asintóticos para las funciones de Chebyshov:

$\vartheta(p_k)\ge k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2.0553}{\ln k}\right)$ para k' ≥ exp(22)

$\vartheta(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right)$ para k ≥ 198

$\psi(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right) + 1.43\sqrt x$ para k ≥ 198

$|\vartheta(x)-x|\le0,006788\frac{x}{\ln x}$ para x ≥ 10.544.111

$|\psi(x)-x|\le0,006409\frac{x}{\ln x}$ para x ≥ exp(22)

$\psi(x)-\vartheta(x)<0,0000132\frac{x}{\ln x}$ para x ≥ exp(30)

Estas anteriores, junto con $\psi(x)\ge \vartheta(x)$ , dan una buena caracterización de estas dos funciones.

Aplicación a la formulación variacional

La función de Chebyshov evaluada en x = exp(t) minimiza el funcional

$J[f]=\int_{0}^{\infty}\frac{f(s)\zeta' (s+c)}{\zeta(s+c)(s+c)}\,ds-\int_{0}^{\infty}\!\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,$

entonces

$f(t)= \psi (e^t)e^{-ct},\,$

para c > 0.

Referencias

↑ Esta plantilla está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias. Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ, θ, π, $p k$ ", Rapport de recherche n° 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k - 1) for k ≥ 2", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
↑ Esta plantilla está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp.195-204.
↑ Esta plantilla está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41(1916) pp.119-196.
↑ Esta plantilla está obsoleta, véase el nuevo sistema de referencias.Davenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search.

Enlaces externos

Riemann's Explicit Formula

Categorías:

Funciones aritméticas
Funciones especiales

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

Función de von Mangoldt — En matemática, la Función de Von Mangoldt es una función aritmética, muy importante en teoría de números, que debe su nombre al matemático alemán Hans von Mangoldt. Contenido 1 Definición 2 Ejemplo 3 Relaciones … Wikipedia Español
Función eta de Dirichlet — η(s) en el plano complejo. El color en un punto s codifica el valor de η(s). Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento. En las matemáticas, en el área … Wikipedia Español
Pafnuti Chebyshov — Pafnuti Lvóvich Chebyshov. Pafnuti Lvóvich Chebyshov (Пафнутий Львович Чебышёв) (16 de mayo de 1821 8 de diciembre de 1894) fue un matemático ruso. Su nombre se translitera también como Tchebychev, Tchebycheff, Tschebyscheff, Chebyshev o Čebišëv … Wikipedia Español
Polinomio de Chebyshov — Saltar a navegación, búsqueda En matemática, los polinomios de Chebyshov, nombrados en honor a Pafnuti Chebyshov, son una familia de polinomios ortogonales que están relacionados con la fórmula de De Moivre y son definidos de forma recursiva con… … Wikipedia Español
Polinomios de Chebyshov — En matemática, los polinomios de Chebyshov, nombrados en honor a Pafnuti Chebyshov, son una familia de polinomios ortogonales que están relacionados con la fórmula de De Moivre y son definidos de forma recursiva con facilidad, tal como ocurre con … Wikipedia Español
Hipótesis de Riemann — Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la línea crítica Re(s) = 1/2 de la función zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(s) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011 … Wikipedia Español
Fórmula explícita — En matemática, la fórmula explícita para funciones L son un conjunto de ecuaciones que relacionan sumas sobre «ceros complejos» o «no triviales» de una función L con sumas sobre potencias de primos, introducida por primera vez por Bernhard… … Wikipedia Español
Anexo:Matemáticos importantes — En esta lista de matemáticos importantes se presenta una selección de matemáticos desde la antigüedad hasta el presente. La selección se orienta por los aportes científicos, utilizando como criterio para definir el grado de notoriedad la atención … Wikipedia Español
Número primo — Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número … Wikipedia Español
Aleksandr Liapunov — Aleksandr Mijáilovich Liapunov (en ruso: Александр Михайлович Ляпунов; 6 de junio (25 de mayo en el calendario juliano) de 1857 – 3 de noviembre de 1918) fue un matemático y físico ruso. Su nombre a menudo se ve transliterado como Lyapunov,… … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Función de Chebyshov

Contenido

Propiedades