Teorema de los números primos

Teorema de los números primos

En teoría de números el teorema de los números primos es un resultado sobre la distribución asintótica de los números primos.

Contenido

Enunciado del teorema

Gráfico comparativo de π(x) (rojo), x / ln x (verde) y Li(x) (azul).

Sea \pi(x)\, el número de primos que son menores o iguales que x\,. El teorema establece que:

\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}, donde ln (x) es el logaritmo neperiano de x.

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de x muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de x\, muy grandes es casi igual a 1.

Una mejor aproximación viene dada por el logaritmo integral:

\pi(x) \approx \operatorname{Li} (x) , donde Li (x) es el logaritmo integral de x.

Historia

El teorema de los números primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798 y la conjetura fue posteriormente refinada por Gauss con la expresión que actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. La demostración formal del teorema la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean de la Vallée Poussin en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el resultado de que la función zeta de Riemann \zeta(z)\, no tiene ceros de la forma 1 + it con t > 0. En realidad la demostración se hizo sobre una expresión algo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema, siendo la expresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:

\pi(x)\approx\mbox{Li}(x)

donde

\mbox{Li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{dy}{\ln(y)}.

Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente, siendo la mejor aproximación actual la dada por:

\pi(x)=\mbox{Li}(x)+O\left(x\exp\left(-\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln\ln x)^{1/5}}\right)\right)

donde O(f(x))\, se define como la función asintótica a f(x)\, y A\, es una constante indeterminada.

Para valores de x\, pequeños se había demostrado que \pi(x)<\mbox{Li}(x)\,, lo que llevó a conjeturar a varios matemáticos en la época de Gauss que \mbox{Li}(x)\, era una cota superior estricta de \pi(x)\, (esto es que la ecuación \pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\, no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota es cruzada para valores de x\, suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a \scriptstyle 10^{317}\,, aunque se piensa que puede ser inferior incluso a \scriptstyle 10^{176}\,. En 1914 Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación \pi(x) - \mbox{Li}(x) = 0\,. Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de Riemann.

Relación con la hipótesis de Riemann

Dada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de Riemann es muy importante en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.

Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el teorema de los números primos puede acotarse de la mejor manera posible. Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que

\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right).

si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado:

|\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{para todo } x \ge 2657.

Aproximaciones para el enésimo número primo

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el enésimo número primo, denotado por pn:

p_n \approx n \ln n.

Una aproximación mejor es:

p_n = n \ln n + n \ln \ln n + \frac{n}{\ln n} \big( \ln \ln n - \ln n- 2 \big) + O\left( \frac {n (\ln \ln n)^2} {(\ln n)^2}\right).[1]

Referencias

  1. ↑ Michele Cipolla (1902). «La determinazione assintotica dell'nimo numero primo». Matematiche Napoli 3:  pp. 132-166. 

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