Función de von Mangoldt

En matemática, la Función de Von Mangoldt es una función aritmética, muy importante en teoría de números, que debe su nombre al matemático alemán Hans von Mangoldt.

Contenido

1 Definición
2 Ejemplo
3 Relaciones
- 3.1 Series de Dirichlet
- 3.2 Transformada de Mellin
4 Véase también
5 Referencias
6 Enlaces externos

Definición

La función de von Mangoldt, normalmente escrita como Λ(n), está definida de la siguiente manera:

$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \mbox{si }n=p^k \mbox{ para algun primo } p \mbox{ y entero } k \ge 1, \\ 0 & \mbox{en cualquier otro caso.} \end{cases}$

Esta función es un ejemplo importante de función aritmética que no es ni multiplicativa ni aditiva.

La función de von Mangoldt cumple la siguiente identidad:^[1]

$\log n = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,$

que es, la suma de todos los enteros d que dividen a n. Esto se puede demostrar mediante el teorema fundamental de la aritmética, Puesto que los términos que no son potencias de números primos son igual a 0.

La función de Chebyshov, o función sumatorio de von Mangoldt , ψ(x), está definida en términos de la función de von Mangoldt como:

$\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).$

von Mangoldt dio una demostración rigurosa de una fórmula explícita para ψ(x), utilizando una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.^[2] Este fue un importante paso para la primera prueba del teorema de los números primos.

Ejemplo

Para el ejemplo, sea n=12.

Se obtieme la descomposición en factores primos de 12, 12=2²·3, necesaria para el ejemplo.
Tomando la suma de todos los divisores d posibles de n:

$\sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d) = \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12)$

$= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(2^2) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda(2^2 \times 3)$

$= 0 + \log 2 + \log 3 + \log 2 + 0 + 0 \,\!$

$=\log (2 \times 3 \times 2) = \log 12. \,\!$

con lo que se muestra que la suma sobre la función de von Mangoldt es igual a log (n).

Relaciones

Series de Dirichlet

La función de von Mangoldt juega un importante rol en la teoría de series de Dirichlet, sobre todo, con la función zeta de Riemann. En particular, se muestra que

$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$

para $\Re(s) > 1$ . La derivada logarítmica es entonces:

$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$

Éstos son casos especiales de una más general relación con las series de Dirichlet.^[1] Si uno define una función como:

$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

para una función completamente multiplicativa f(n), y la serie converge para todo $\Re(s) > \sigma_0$ , entonces

$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$

y converge para $\Re(s) > \sigma_0$ .

Transformada de Mellin

La transformada de Mellin de la función de Chebyshov puede ser obtenida aplicando la fórmula de Perron:

$\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx$

la cual se cumple para $\Re(s)>1$ .

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
↑ Stopple, Jeffrey (2008). «Riemann's explicit formula & music of the primes.». Consultado el 17 de mayo de 2010.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Von Mangoldt function» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Categoría:

Funciones aritméticas

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

Función de Chebyshov — En matemáticas, la función de Chebyshov es alguna de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshov ϑ(x) o θ(x) se expresa como: con el sumatorio comprendiendo todos los números primos p menores que x. La segunda función de Chebyshov … Wikipedia Español
Serie de Dirichlet — En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo donde s y an, n = 1, 2, 3, ... son números complejos. Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números. La definición más popularizada de… … Wikipedia Español
Fórmula de Perron — En matemática, y más precisamente en teoría analítica de números, la fórmula de Perron es una fórmula dada por Oskar Perron para calcular la suma de una función aritmética, mediante el uso de una transformada de Mellin inversa. Contenido 1… … Wikipedia Español
Cribado grande — De la manera más facil y sencilla Cribar es Cernir, colar, filtrar, tamizar, depurar; se usa en otras áreas como una expresión para indicar: seleccionar, separar, escoger, diferenciar o elegir algo de entre mucho. Por ejemplo en medicina, para… … Wikipedia Español
Teorema de Bombieri-Vinográdov — En matemáticas, el teorema de Bombieri–Vinográdov (a veces llamado simplemente teorema de Bombieri)[1] es un resultado importante en teoría multiplicativa de números,[2] una rama de la teoría analítica de números, obtenido a mediados de los años… … Wikipedia Español
Teorema de Vinográdov — En matemáticas, en el campo de la teoría de números, el teorema de Vinográdov implica que todo número impar suficientemente grande se puede expresar como la suma de tres números primos. Es un teorema más débil que la conjetura de Goldbach, según… … Wikipedia Español
Karl Weierstrass — Karl Weierstraß Karl Theodor Wilhelm Weierstraß Nacimiento 31 de octubre de 1815 Ostenfelde, Westphalia … Wikipedia Español
Hipótesis de Riemann — Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la línea crítica Re(s) = 1/2 de la función zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(s) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011 … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Función de von Mangoldt

Contenido

Definición

Ejemplo