Grupo de homeotopía

Grupo de homeotopía: En la topología el concepto de grupo de homeotopía de una superficie, S, consiste en el grupo de las clases de isotopía de los auto-homeomorfismos de S donde se factorizan los auto-homeomorfismos isotópicos al mapeo identidad de S. Este concepto también es llamado el mapping class group de la superficie. Por lo que suele usarse el símbolo $\mathcal{MCG}(S)$ para denotar tal estructura.

Los ejemplos elementales son:

el plano proyectivo, P tiene $\mathcal{MCG}(P)=1$ , y esto es porque cada auoto-homeomorfismo del plano proyectivo es isotópico a la identidade de P

$\mathcal{MCG}(S^2)=\mathbb{Z}_2$ , para la 2-esfera

para el toroide, T, tenemos $\mathcal{MCG}(T)=GL_2(\mathbb{Z})$

la botella de Klein, K tiene $\mathcal{MCG}(K)=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$

Un hecho importante es que ha sido demostrado rigurosamente que para superficies orientables S sus grupos de homeotopía coincide con ${\rm Out}\pi_1(S)\,$ , el grupo de automorfismo exteriores del grupo fundamental de S.

Tiene sentido también definir este concepto para cualquier espacio topológico arco-conexo.

No debe confundirse este concepto con el de grupos de homotopía de un espacio X, donde los elementos son las clases de homotopía de mapeos de la esfera $S n$ a X.

Ver también homotopía.

Categorías:
Topología
Topología geométrica

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