Toroide

Toroide

En geometría el toroide es la superficie de revolución generada por una curva plana cerrada que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (el eje de rotación situado en su mismo plano) con la que no se interseca. Su forma se corresponde con la superficie de los objetos que en el habla cotidiana se denominan donuts,argollas, anillos, aros o roscas. La palabra toroide también se usa para referirse a un poliedro toroidal, la superficie de revolución generada por un polígono que gira alrededor de un eje.[1]

Simple Torus.svg

Cuando la curva cerrada es una circunferencia, la superficie se denomina toro. En lenguaje cotidiano se denomina anillo al cuerpo cuya superficie exterior es un toro, lo que ilustra la diferencia entre una superficie y el volumen encerrado por ella.

Contenido

Expresión matemática del toro

Superficie tórica.svg

En un sistema de coordenadas cartesianas de centro O, ejes horizontales x e y y eje vertical z, la superficie del toro se puede generar del modo siguiente. Se construye sobre el plano xz una circunferencia de radio r con centro en el punto C que está sobre el eje x y a distancia R de O. La superficie del toro se genera cuando se hace girar esta circunferencia alrededor del eje z.

Las coordenadas de un punto cualquiera del toro se obtienen mediante las siguientes expresiones, donde α es la latitud del punto respecto del plano xz, y β el ángulo de rotación de la circunferencia generatriz alrededor del eje z o longitud. Se tiene entonces que

\left \{ \begin{array}{l} x = (R + r \; cos \; \alpha) \; cos \; \beta \\ y = (R + r \; cos \; \alpha) \; sen \; \beta \\ z = r \; sen \; \alpha \end{array} \right .

A cualquier par de valores de los ángulos α y β le corresponde un punto del toro.

Partiendo de las ecuaciones:

\left . \begin{array}{l} x = (R + r \; cos \; \alpha) \; cos \; \beta \\ y = (R + r \; cos \; \alpha) \; sen \; \beta \\ sen^2 \; \beta + cos^2 \; \beta = 1 \end{array} \right \} x^2 + y^2 = (R + r \; cos \; \alpha)^2

se puede eliminar el ángulo β. A partir de las siguientes ecuaciones, se puede también eliminar α:

\left . \begin{array}{l} x^2 + y^2 = (R + r \; cos \; \alpha)^2 \\ z = r \; sen \; \alpha \\ sen^2 \; \alpha + cos^2 \; \alpha = 1 \end{array} \right \} x^2 + y^2 = \left ( R + \sqrt{r^2 - z^2} \right ) ^2

donde la expresión de la derecha es la ecuación que deben satisfacer las coordenadas x, y, z de cualquier punto del toro.

Volumen

Animación mostrando un toro siendo cortado por un plano, creando Círculos de Villarceau. Ver Vesica Piscis

El volumen encerrado por un toroide es:

V = 2·π·r·A,

donde r es la distancia del eje de rotación al isobaricentro de la figura plana generatriz y A el área limitada por dicha figura.

Véase también

Referencias

Notas
  1. ↑ Weisstein, Eric W. Toroid

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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