- Integral de Wallis
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Se llaman integrales de Wallis a las términos de la sucesión de integrales: La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral, y luego renombrando en .
Contenido
Propiedades elementales
Los términos son positivos no nulos porque las funciones lo son sobre el intervalo . La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre , sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia: porque sobre luego la integral de una función continua negativa no nula es negativa.
la función tiende hacia 0 para todo x en cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto
Formas explícitas de las integrales de Wallis
Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente: y .
Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por intergración por partes:
La integral se obtiene por integración por partes: se integra en y se deriva en :
Por tanto tenemos: lo que equivale a es decir luego lo que se escribe también Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de y los de rango par en función de . En concreto:
Para n impar: y porque ; donde n! y k! son las factoriales de n y k.
Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:
Aplicación a la fórmula de Stirling
La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así: Como ya se ha visto, la sucesión es decreciente, y .
Luego lo que da es decir
Tomando n par, tenemos
pues n+1 es impar.
Al multiplicar las fracciones se simplifican: luego y sacando la raíz:
Ahora introduzcamos en la equivalencia .
.
Comparando con el último equivalente de , se obtiene: luego y finalmente: .
Referencias
Enlaces externos
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