Ley de tricotomía

Ley de tricotomía

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras \mathbb{R} es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si \mathit{x} \,\! y \mathit{y} \,\! pertenecen a \mathbb{R}, entonces se puede decir si la afirmación x>y\, es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada \mathit{x} \,\! y \mathit{y} \,\! en \mathbb{R} se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

x>y \, ; x<y \, ; x=y\,

Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.


Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si x<y\,, entonces \mathit{x} \,\! es distinto de \mathit{y} \,\!. Dicho de otra forma, no existe ningún número real \mathit{x} \,\! tal que x<x\,.

Interpretación

Si imagináramos que \mathbb{R} es una recta, donde a la izquierda están los números negativos, al "medio" el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación x<y\,, es que \mathit{x} \,\! está a la izquierda de \mathit{y} \,\!. Esta manera de visualizar \mathbb{R} es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.

Por ejemplo

Si x<y\, y y<z\,, entonces x<z\,

La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si \mathit{x} \,\! es un número real que está a la izquierda de \mathit{y} \,\!, y \mathit{y} \,\! está a su vez a la izquierda de \mathit{z} \,\!, entonces \mathit{x} \,\! está a la izquierda de \mathit{z} \,\!.

Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales. Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro.

Véase también

Enlaces externos


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