- Principio de buena ordenación
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Principio de buena ordenación
Esta propiedad que puede deducirse del principio de inducción es de particular importancia en matemática ya que se utiliza como base para la demostración por inducción.
- Principio de Buena Ordenación
Nótese que esta propiedad es válida sólo para conjuntos cuyos elementos son números enteros positivos. No es cierta para cualquier conjunto, ya que si consideramos los enteros negativos, por ejemplo, no existe un menor elemento.
Demostración del Principio de Buena Ordenación
Como dijimos anteriormente, este principio se puede deducir a partir del principio de inducción. Usaremos entonces, este principio para demostrar el principio de buena ordenación.
Definamos un conjunto
tal que
es no vacío y consta sólo de enteros positivos. Queremos demostrar existe un
tal que para para todo
, se tiene que
.
Supongamos que no existe tal entero, y lleguemos a una contradicción. Es claro que 1 no puede pertenecer a
, ya que de lo contrario éste sería su menor elemento. Designemos por
al conjunto de todos los n tal que
, para todo
de
. Entonces 1 pertenece a
, ya que
. Sea
un entero positivo de
. Entonces
para todo
de
. Demostraremos que
también pertenece a
. De no ser así, entonces para un cierto
de
tendríamos que
. Puesto que
no tiene menor elemento, existe un
en
tal que
, por lo tanto
. Esto implica que
, en contradicción con el hecho de que
para todo
de
. Por lo tanto podemos decir que
pertenece a
. Luego, por el principio de inducción, concluímos que
contiene a todos los enteros positivos. Puesto que
es no vacío, existe un entero positivo
en
. Pero este
debe pertenecer a
ya que
los contiene a todos. Tenemos entonces que
, lo cual es una contradicción. Así entonces, nuestra hipótesis de que
no tiene un menor elemento es falsa. Luego
posee un menor elemento.
Nótese que esto también demuestra que el principio de buena ordenación es una consecuencia del principio de inducción.
Categoría: Teoría de conjuntos
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