- Logaritmacion
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Logaritmacion
Así como la suma y multiplicación tienen como operaciones opuestas la resta y la división respectivamente, la potenciación tiene dos que son la radicación y la logaritmación.
Contenido
Definición
Logaritmación es la operación aritmética donde dando un número total y una base de potenciación, se tiene que hallar el exponente al que hay que elevar la base para conseguir el mencionado total.
Términos
Los términos de la logaritmación son: la base del logaritmo, el número total y el exponente o logaritmo.
La base de un logaritmo es el número que elevado al exponente o logaritmo da el número total.
Número total es cualquier número positivo.
El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el total.
Ejemplo: Log101000 = 3 donde 10 es la base, 1000 es el total y 3 es el exponente o logaritmo ya que 103 = 1000
Clase más importantes de logaritmos
Las clases de logaritmos más utilizados son los de base 10 y los neperianos.
Los logaritmos de base 10 o vulgares son aquellos en que la base de potenciación es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Briggs.
Los logaritmos neperianos o naturales son aquellos que la base potenciación es un número irracional (e). El número (e)=2,71828182845 y fueron desarrollados por John Napier.
Otras definiciones
Si un logaritmo no es exacto tiene una parte positiva y otra decimal.
Característica es la parte positiva del logaritmo.
Mantisa es la parte decimal del logaritmo. Puede haber logaritmos sin mantisa.
Cologaritmo es el logaritmo del inverso de un número.
Así si tenemos N su inverso es 1/N y el cologaritmo será Logb1 / N.
Representación
Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subindice la base y después el número total del que deseamos hallar el logaritmo.
Ejemplo: 103 = 1000 luego Log101000 = 3
Propiedades generales básicas
|1| Los números negativos no tienen logaritmo. Es una especie de convenio ya que aparecerían opuestos de los positivos y algunos negativos no tendrían logaritmo como Log2( − 4) donde 22 = 4 y ( − 2)2 = 4 según propiedades de la potenciación.
|2| El logaritmo de su base es 1. Así LogbB = 1 ya que B1 = B.
|3| El logaritmo de 1 es cero. Así Logb1 = 0 ya que B0 = 1.
|4| Si A>0 y A<1 entonces LogbA es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos al no poder ser superiores a cero.
|5| Las potencias consecutivas de una base forma una progresión geométrica y la de los exponentes es una progresión aritmética.
Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16..etc y sus exponentes serán 0,1,2,3,4..etc ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 ..etc luego Log21 = 0, Log22 = 1, Log24 = 2, Log28 = 3 y Log216 = 4...etc.
Propiedades básicas de logaritmos decimales
|1| La caraterística de un número comprendido entre 1 y otro menor que 10 es cero. Es lógico ya que Log101 = 0 y Log1010 = 1 entonces los número comprendido entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es su característica.
|2| La característica de los números superiores o igual a 10 será un número igual a la cantidad cifras menos 1 del mencionado número.
Así 10,20,30 su característica es 1 y la de 100,150 su característica es 2...etc.
|3| La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 0 será positiva. Es lógico ya que los números van de forma ascendente en relación al valor absoluto.
|4| La característica de los logaritmos inferiores a 0 será negativa y su mantisa positiva. Es lógico ya que los números negativos es mayor el de menor valor absoluto. Así –2>-6.
Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos (–C’mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.
Propiedades operativas
|1| El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
DEMOSTRACIÓN: Sea Logb(AxB) donde bx = A resultando que Logb(A) = X y by = B resultando Logb(B) = Y donde AxB = (bx)x(by) = b(x + y) al tener un producto de potencias de una misma base.
Entonces Logb(AxB) = Logbb(x + y) = x + y que son los logaritmos de A y B.
|2| El logaritmo de una división es igual a la resta de los logaritmos del dividendo menos el divisor.
DEMOSTRACIÓN: Sea Logb(A / B) donde bx = A resultando que Logb(A) = X y by = B resultando Logb(B) = Y, donde A / B = (bx) / (by) = b(x − y) al tener un cociente de potencias de una misma base. Entonces Logb(A / B) = Logbb(x − y) = x − y que son los logaritmos de A y B.
|3| El logaritmo de una potencia es igual al logaritmo de la base por el exponente.
DEMOSTRACIÓN: Sea Logb(An) donde An = (AxAxA...etc N veces) como Logb(An) = Logb(AxAxA...etc N veces) que es el logaritmo de un producto y según el apartado 1 sera igual a la suma de los logaritmos de A tantas veces como unidades tiene N, resultado que Logb(An) = NxLogb(A)
|4| El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice radical.
DEMOSTRACIÓN: La logaritmación del radicando R con base (b) y índice radical o logaritmo (n) se puede poner en forma potencial escribiendo LogbR(1 / n) y según el apartado 3, resultará que LogbR(1 / n) = (1 / N)xLogbR = (LogbR) / N.
Cambio de base de un logaritmo
Para pasar el logaritmo de un número, a otra base, se divide el logaritmo de la base nueva por el logaritmo de la base antigua en base nueva.
Si tenemos Logb1N = H y deseamos pasarlo a una base (b2).
Donde Logb1N = H y Logb2N = I que potenciandolas tendremos B1h = B2i = N.
Sustituyendo N por B1h tendremos que Logb2(B1h) = I, siendo la fórmula anterior el logaritmo de una potencia Logb2(B1h) = HxLogb2B1.
Por transposición de términos tendremos (Logb2(B1h)) / (Logb2B1) = H y reconvertiendo los valores B1h por N, H por Logb1N tendremos (Logb2N) / (Logb2B1) = Logb1N.
Tablas y calculadora de logaritmos
Referencias
Categorías: Wikipedia:Fusionar | Aritmética
Wikimedia foundation. 2010.
