Suma

Suma
Para otros usos de este término, véase Suma (desambiguación).
«Adición» redirige aquí. Para la reacción química homónima, véase Reacción de adición.
3 + 2 = 5 manzanas.[1]

La suma o adición es la operación básica por su naturalidad, que se combina con facilidad matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.

En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos), y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.

En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.

Contenido

Propiedades de la suma

  • Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado: a+b=b+a.
  • Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.[2] Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c.
  • Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
  • Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.
  • Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.
  • Propiedad de cerradura:Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. Por ejemplo a+b=c.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.

Notación

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.

También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:

  • 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.
  • 2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo símbolo, llamado sumatorio, y se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:

  • \sum_{k=1}^{100} k es la suma de los cien primeros números naturales.
  • \sum_{k=1}^{10} 2^k es la suma de las diez primeras potencias de 2.
  • \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} es la suma de todos los números racionales de la forma 1/k2. Esta es una suma infinita que nunca termina; es decir, se suman todos los elementos de un conjunto infinito.

Tabla

Para realizar una suma se parte de la tabla de sumar, en la que se representa la suma de los diez primeros números, que se aprende por memorización, conocida esta tabla se pueden realizar sumas de números de cualquier número de cifras.

Tabla de sumar
Tabla del 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
1 + 5 = 6
1 + 6 = 7
1 + 7 = 8
1 + 8 = 9
1 + 9 = 10
1 + 10 = 11
Tabla del 2
2 + 0 = 2
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
2 + 4 = 6
2 + 5 = 7
2 + 6 = 8
2 + 7 = 9
2 + 8 = 10
2 + 9 = 11
2 + 10 = 12
Tabla del 3
3 + 0 = 3
3 + 1 = 4
3 + 2 = 5
3 + 3 = 6
3 + 4 = 7
3 + 5 = 8
3 + 6 = 9
3 + 7 = 10
3 + 8 = 11
3 + 9 = 12
3 + 10 = 13
Tabla del 4
4 + 0 = 4
4 + 1 = 5
4 + 2 = 6
4 + 3 = 7
4 + 4 = 8
4 + 5 = 9
4 + 6 = 10
4 + 7 = 11
4 + 8 = 12
4 + 9 = 13
4 + 10 = 14
Tabla del 5
5 + 0 = 5
5 + 1 = 6
5 + 2 = 7
5 + 3 = 8
5 + 4 = 9
5 + 5 = 10
5 + 6 = 11
5 + 7 = 12
5 + 8 = 13
5 + 9 = 14
5 + 10 = 15
Tabla del 6
6 + 0 = 6
6 + 1 = 7
6 + 2 = 8
6 + 3 = 9
6 + 4 = 10
6 + 5 = 11
6 + 6 = 12
6 + 7 = 13
6 + 8 = 14
6 + 9 = 15
6 + 10 = 16
Tabla del 7
7 + 0 = 7
7 + 1 = 8
7 + 2 = 9
7 + 3 = 10
7 + 4 = 11
7 + 5 = 12
7 + 6 = 13
7 + 7 = 14
7 + 8 = 15
7 + 9 = 16
7 + 10 = 17
Tabla del 8
8 + 0 = 8
8 + 1 = 9
8 + 2 = 10
8 + 3 = 11
8 + 4 = 12
8 + 5 = 13
8 + 6 = 14
8 + 7 = 15
8 + 8 = 16
8 + 9 = 17
8 + 10 = 18
Tabla del 9
9 + 0 = 9
9 + 1 = 10
9 + 2 = 11
9 + 3 = 12
9 + 4 = 13
9 + 5 = 14
9 + 6 = 15
9 + 7 = 16
9 + 8 = 17
9 + 9 = 18
9 + 10 = 19
Tabla del 10
10 + 0 = 10
10 + 1 = 11
10 + 2 = 12
10 + 3 = 13
10 + 4 = 14
10 + 5 = 15
10 + 6 = 16
10 + 7 = 17
10 + 8 = 18
10 + 9 = 19
10 + 10 = 20


La tabla de sumar en forma cartesiana

Otra forma de representar la tabla de sumar es en forma cartesiana. En esta representación, la primera fila y la primera columna contienen los números que se van a sumar, y en la intersección de cada fila con cada columna se muestra la suma de ambos números.

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Realizar una suma

{ \color{Blue} \left . \begin{array}{l} 3 \to \left \{ \begin{array}{l} { \color{Cyan} \bigstar } \\ { \color{Green} \clubsuit } \\ { \color{Plum} \blacklozenge } \end{array} \right . \\ \\ 2 \to \left \{ \begin{array}{l} { \color{Red} \blacksquare } \\ { \color{Sepia} \spadesuit } \end{array} \right . \end{array} \right \} \to 5 }

Se procede de la siguiente manera para sumas de varios números, llamados "sumandos".

Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades(U), a la izquierda las decenas(D), la siguiente las centenas(C), la siguiente los millares(M), etc.

La suma de los números 750 + 1583 + 69 se ordenarían de la siguiente forma:

\begin{array}{rrrrr} & M & C & D & U \\ & & 7 & 5 & 0 \\ & 1 & 5 & 8 & 3 \\ + & & & 6 & 9 \\ \hline \end{array} \begin{array}{l} \\ \longleftarrow 1^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 2^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 3^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \end{array}

Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades según las tablas elementales, colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas unidades sean más de 10 las decenas se acumulan como un sumando más en la fila de acarreo.

En este caso 3 más 9 son 12, el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como acarreo en la columna siguiente.

\begin{array}{rrrrr} & & & 1 & \\ & M & C & D & U \\ & & 7 & 5 & 0 \\ & 1 & 5 & 8 & 3 \\ + & & & 6 & 9 \\ \hline & & & & 2 \\ \end{array} \begin{array}{l} { \color{Red}\longleftarrow \textrm{acarreo} }\\ \\ \longleftarrow 1^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 2^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 3^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \\ \end{array}

En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran unidades.

Sumamos el 1 del acarreo más 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 se pone en la parte inferior como resultado y el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente.

\begin{array}{rrrrr} & & 2 & 1 & \\ & M & C & D & U \\ & & 7 & 5 & 0 \\ & 1 & 5 & 8 & 3 \\ + & & & 6 & 9 \\ \hline & & & 0 & 2 \\ \end{array} \begin{array}{l} { \color{Red}\longleftarrow \textrm{acarreo} }\\ \\ \longleftarrow 1^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 2^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 3^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \\ \end{array}

Se procede de igual forma con la columna de las decenas, acarreo incluido, colocando en la fila de acarreo sobre la columna de las centenas las decenas (de unidades de decenas).

En la columna de las centenas tenemos, el 2 de acarreo, el 7 y el 5 que sumados dan 14, el 4 del 14 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa a la siguiente columna como acarreo.

\begin{array}{rrrrr} & 1 & 2 & 1 & \\ & M & C & D & U \\ & & 7 & 5 & 0 \\ & 1 & 5 & 8 & 3 \\ + & & & 6 & 9 \\ \hline & & 4 & 0 & 2 \\ \end{array} \begin{array}{l} { \color{Red}\longleftarrow \textrm{acarreo} }\\ \\ \longleftarrow 1^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 2^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 3^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \\ \end{array}

Se procede de igual forma con todas las columnas, añadiendo a la columna última de la izquierda las decenas de la columna anterior en vez de subir a la fila de acarreo.

En la columna de los millares tenemos 1 de acareo más el 1 de sumando que sumados dan 2, que se pone en la parte inferior como resultado, al no haber mas sumandos damos por finalizada la operación.

\begin{array}{rrrrr} & 1 & 2 & 1 & \\ & M & C & D & U \\ & & 7 & 5 & 0 \\ & 1 & 5 & 8 & 3 \\ + & & & 6 & 9 \\ \hline & 2 & 4 & 0 & 2 \\ \end{array} \begin{array}{l} { \color{Red}\longleftarrow \textrm{acarreo} }\\ \\ \longleftarrow 1^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 2^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow 3^{\circ} \; \textrm{sumando}\\ \longleftarrow \textrm{total}\\ \end{array}

Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel, sumando directamente el acarreo a los sumandos de la columna siguiente y el aspecto de la realización de la suma sin las anotaciones auxiliares sería el siguiente:

\begin{array}{rrrrr} & & 7 & 5 & 0 \\ & 1 & 5 & 8 & 3 \\ + & & & 6 & 9 \\ \hline & 2 & 4 & 0 & 2 \\ \end{array}

Véase también

Referencias

  1. ↑ From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
  2. ↑ Definición: propiedad asociativa de la suma

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Sinónimos:
, , , , , , / , , , , ,


Antónimos:
resta


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