Potenciación

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe aⁿ, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por si mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

Por ejemplo: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

$a^{-p}= \frac{1}{a^p}$

cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 0⁰ que, en principio, es una indefinición (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

x 1 = x

$x^a = x \cdot x^{a-1}$

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x⁰. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x⁰=1.

Así, toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1

pero a debe pertenecer a los reales

$a^0 = 1 \,$

00

no es una indeterminación dado que no estamos hablando del límite de una función (sucesión) sino que hablamos de un escalar (número).

00 = 1

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

$a^1 = a \,$

ejemplo:

$54^1=54 \,$

Producto de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes.Se coloca la misma base y se suman los exponentes:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

ejemplos:

$9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5$

todo número a la potencia 0 es igual a 1

ejemplos:

50 = 1

Cociente de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}$

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n".

$(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. Así se obtiene esta potencia

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

a1-96 a4

Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

$(a + b)^m \neq a^m + b^m$

$(a - b)^m \neq a^m - b^m$

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general, $a^b \neq b^a$

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}.$

Potencia de base 10

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la base, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente. Ejemplo: 10^2=100. 10^5=100.000

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales $a,b,c,d \,$ se tiene la identidad:

$\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left( c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}$

Gráfico

gráfico de

Y = X 2

El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones

Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los reales.

gráfico de

Y = X 3

Por otra parte, el gráfico de una potencia impar puede describirse como una parábola de la cual una mitad crece en una dirección y la otra crece en la dirección opuesta. Su extremo es también el (0, 0), pero crece en ambos sentidos del infinito, en el primer y tercer cuadrante.

Véase también

Radicación
Exponenciación

Enlaces externos

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Categorías: Operaciones básicas de la aritmética | Álgebra | Exponenciales

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