Matrices de Pauli

Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, son matrices usadas en física cuántica en el contexto del momento angular intrínseco o espín. Matemáticamente, las matrices de Pauli constituyen una base vectorial del álgebra de Lie del grupo especial unitario SU(2), actuando sobre la representación de dimensión 2.

Forma de las matrices

Cumplen las reglas de conmutación del álgebra de Lie $\mathfrak{su}(2)$ :

$\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\ \epsilon_{ijk}\ \sigma_k$

Donde:

$\epsilon_{ijk}\;$ es el Símbolo de Levi-Civita (pseudotensor totalmente antisimétrico).

También satisfacen la siguiente regla de anticonmutación

$\left \{\sigma_i,\sigma_j \right \}=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I\$

Otras propiedades importantes son:

$\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

$\operatorname{det} (\sigma_i) = -1$

$\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0$

Caso de espín 1/2

Las matrices de Pauli son tres, al igual que la dimensión del álgebra del Lie del grupo SU(2). En su representación lineal más común tienen la siguiente forma:

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Caso de espín 1

Por abuso de lenguaje se suele llamar matrices de Pauli a otras representaciones lineales diferentes a las usadas en el caso de espín 1/2 anterior. Por ejemplo para representar el espín de una partícula con valor 1, se usa la representación lineal mediante matrices de 3x3 siguiente:

$J_x = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \qquad J_y = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&-i&0\\ i&0&-i\\ 0&i&0 \end{pmatrix} \qquad J_z = \hbar \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}$

Caso de espín 3/2

Análogamente al caso anterior para espín 3/2 es común usar la siguiente representación:

$J_x = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&\sqrt{3}&0&0\\ \sqrt{3}&0&2&0\\ 0&2&0&\sqrt{3}\\ 0&0&\sqrt{3}&0 \end{pmatrix} \qquad J_y = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&-i\sqrt{3}&0&0\\ i\sqrt{3}&0&-2i&0\\ 0&2i&0&-i\sqrt{3}\\ 0&0&i\sqrt{3}&0 \end{pmatrix} \qquad J_z = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 3&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$

Aplicaciones

Las matrices de Pauli tienen gran utilidad en mecánica cuántica. La aplicación más conocida es la representación del operador de espín para una partícula de espín 1/2, como un electrón, un neutrón o un protón. Así el observable que sirve para medir al espín, o momento angular intrínseco, de un electrón, en la dirección i, viene dado por el operador autoadjunto:

$\hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i$

En la representación convencional, los autoestados de espín corresponden a los vectores:

$\left \{| \uparrow \rangle = (1,0); | \downarrow \rangle = (0,1) \right\}$

Véase también

Notas

Categorías:

Física matemática
Mecánica cuántica
Grupos de Lie
Simetría rotacional

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

Matrices De Pauli — Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base du groupe SU(2). Elles sont définies comme l ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes … Wikipédia en Français
Matrices de pauli — Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base du groupe SU(2). Elles sont définies comme l ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes … Wikipédia en Français
Matrices de Pauli — Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base de l algèbre de Lie du groupe SU(2). Elles sont définies comme l ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes … Wikipédia en Français
PAULI (W.) — Enfant prodige, «le fouet de Dieu», «la conscience» de la physique théorique de son temps, le fils spirituel d’Einstein, Wolfgang Pauli, l’un des jeunes génies révolutionnaires de la physique quantique, au cours d’une réflexion rétrospective sera … Encyclopédie Universelle
Pauli matrices — The Pauli matrices are a set of 2 times; 2 complex Hermitian and unitary matrices. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted with a tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. They are::sigma 1 =… … Wikipedia
Pauli — Wolfgang Ernst Pauli Cet article fait partie de la série Mécanique quantique Postulats de la mécanique quantique Histoire de … Wikipédia en Français
Matrices de Dirac — Matrice de Dirac Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman … Wikipédia en Français
Matrice de Pauli — Matrices de Pauli Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment une base du groupe SU(2). Elles sont définies comme l ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes … Wikipédia en Français
Pauli equation — The Pauli Equation, also known as the Schrödinger Pauli equation, is the formulation of the Schrödinger equation for spin one half particles which takes into account the interaction of the particle s spin with the electromagnetic field. It is the … Wikipedia
Matrices aléatoires — Matrice aléatoire Une matrice aléatoire est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. Face à la complexité croissante des spectres nucléaires observés expérimentalement dans les années 1950, Wigner a suggeré de remplacer l… … Wikipédia en Français

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Matrices de Pauli

Contenido