Matriz aumentada

Matriz aumentada

En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices A y B, donde

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 2 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}

Entonces la matriz aumentada (A | B) se representa de la siguiente manera:

(A|B)= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

Ejemplos

Sea C una matriz cuadrada de dimensiones 2x2 donde C = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}

Para encontrar la inversa de C, se crea (C | I), donde I es la matriz identidad de dimensiones 2x2. A continuación se transforma en la matriz identidad la parte de (C | I) correspondiente a C, usando únicamente transformaciones de matriz elementales en (C | I).

(C|I) = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 0\\ -5 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

(I|C^{-1}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \end{bmatrix}

En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Dado el conjunto de ecuaciones:

\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ 3x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 2 \\ 6x_1 + 5x_2 + 9x_3 = 11 \end{cases}

la matriz aumentada estaría formada por:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 9 \end{bmatrix}

y

B = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 11 \end{bmatrix}

dando como resultado final:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 6 & 5 & 9 & 11 \end{bmatrix}


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