Método de Euler

Método de Euler

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

PVI = \left \{ \begin{array}{rcl} {dy\over dx} = f(x,y)\\ y(x_0) = y_0\\ y(x_i)=? \end{array} \right .

Contenido

Una descripción informal

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y safisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.

Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito(aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo).

Procedimiento

Consiste en multiplicar los intervalos que va de x_o\, a x_f\, en n\, subintervalos de ancho h\, ; osea:

h = {x_f - x_o \over n}\,

de manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 \, puntos: x_o, x_1, x_2,.......,x_n\, del intervalo de interes [x_o,x_f]\, . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:


x_i = {x_0 + ih}, \, 0 \le i \le n \,.


La condición inicial y(x_o) = y_o \,, representa el punto P_o = (x_o, y_o)\, por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como F(x)= y \,.

Ya teniendo el punto P_o\, se puede evaluar la primera derivada de F(x)\, en ese punto; por lo tanto:


F'(x) = {dy\over dx} \bigg\vert\begin{matrix}\\{P_o}\end{matrix} = f(x_o,y_o)\,


Grafica A.

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por P_o\, y de pendiente f(x_o, y_o)\,. Esta recta aproxima F(x)\, en una vecinidad de x_o \,. Tómese la recta como reemplazo de F(x) \, y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a x_1\,. Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:


{y_1 - y_o\over x_1 - x_o} = f(x_o,y_o) \,


Se resuelve para y_1\,:

y_1 = y_o+(x_1 - x_o) f (x_o,y_o) = y_o + h f(x_o, y_o) \,


Es evidente que la ordenada y_1 \, calculada de esta manera no es igual a F (x_1)\,, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor y_1 \, sirve para que se aproxime F' (x) \, en el punto P = (x_1,y_1)\, y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

\begin{array}{crl} y_1 = y_o + h f (x_o,y_o)\\ y_2 = y_1 + h f (x_1,y_1)\\ .\\ .\\ .\\ y_{i+1} = y_i + h f (x_i,y_i)\\ .\\ .\\ .\\ y_n = y_{n-1} + h f (x_{n-1},y_{n-1})\\ \end{array} \quad \,

Ejemplo

PVI = \left \{ \begin{array}{rcl} {dy\over dx} = \sin x - \ln y\\ y(0.13) = 0.32\\ y(0.14)=? \end{array} \right .

Calculamos el valor de h \, tomando en cuenta que el n \, valor de divisiones es de 4 \, ; por lo tanto quedaria así:


h = {0.14 - 0.13 \over 4}=0.0025\,

Plantear cuales son valores inciales de x \, y y \, .

x_o = 0.13 \, y_o = 0.32 \, .

Teniendo dichos valores podemos comenzar con el método:

\begin{array}{|c|c||c|} \hline {dy\over dx}& x & y \\ \hline &0.13 &0.32 \\ \hline \sin(0.13)-\ln(0.32)=1.14170320926924& 0.13 +0.0025=0.1325 &0.32+0.0025*1.14170320926924=0.3228542580231731 \\ \hline \sin(0.1325)-\ln(0.3228542580231731)=1.1328668303351534 &0.1325+0.0025=0.135 &0.323172+0.0025*1.1328668303351534=0.3689430063689100780848 \\ \hline Sin(0.135)-Ln(0.326326)=1.12221458959236 &0.135+0.0025=0.1375 &0.326326+0.0025*1.12221458959236=0.36901333463729736936 \\ \hline \sin(0.1375)-\ln(0.326326)=1.12225822270029& 0.1375+0.0025=0.14 &0.329462+0.0025*1.12225822270029=0.37254708412403366898 \\ \hline \end{array}

Por lo que el resultado obtenido es: y_4 = 0.33258138 \,; posteriormente procederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la ecuacion que es {dy\over dx} = sin x-lny = 0.3325459 \,

Finalmente se calcula el Error relativo:

\boldsymbol{\epsilon_r}= \left \| \begin{array}{rcl} \cfrac{0.33258138-0.3325459}{0.3325459}*100% \\ \end{array} \right | = 1.064364*10^{-2}%

Análisis de error para el método de Euler.

Grafica B.

La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos númericos involucra varios tipos de errores:

  • Truncamiento: Este se debe a que como la aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta; se comete un error propio del método.
  • Local: Aplicación del método en cuestión sobre un paso sencillo.
  • Propagado: Aproximaciones producidas durante los pasos previos.

La suma de los dos es el error de truncamiento global.

  • Redondeo: Resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Como se muestra en la Grafica B, básicamente el método se encarga de aproximar la curva y = F (x) \, por medio de una serie de segmentos en recta.

Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete un error derivado del método. A este error se le conoce como error de truncamiento. Este error se puede disminuir reduciendo el valor de h \,, pero se obtendra un mayor número de cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho más alto.

Referencias

  • Nieves, Antonio (2007). Métodos numéricos aplicados a la ingeniería. Grupo editoreal Patria. ISBN 978-970-817-080-2. 

Wikimedia foundation. 2010.

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