Pentagrama (geometría)

Pentagrama (geometría)

Pentagrama (geometría)

Este artículo trata sobre geometría. Para otros usos de este término, véase Pentagrama.
Un pentagrama, pentáculo, pentalfa o pentángulo

Un pentagrama, también llamado pentáculo, pentalfa y pentángulo, es una estrella de cinco puntas dibujada con cinco trazos rectos. La palabra pentagrama proviene del griego πεντάγραμμον (pentagrammon), forma sustantiva de πεντάγραμμος (pentagrammos) o πεντέγραμμος (pentegrammos), adjetivo que significa "cinco líneas" o "de cinco líneas". También se le denomina pentalfa porque su dibujo posee cinco letras A (alfa en griego) y pentáculo por poseer 5 ángulos agudos.

Contenido

Historia

Quizás conocido por los antiguos mesopotámicos (por ejemplo los sumerios), fue muy considerado por Pitágoras quien observó su relación con el N° Fi (Número de oro). Desde entonces se le dio un uso al mismo tiempo místico-mágico y otro científico; en la magia el pentalfa o pentáculo con su punta hacia arriba suele significar al ser humano (de hecho: durante la Edad Media se esbozaban alargados pentalfas para luego sobre ellos dibujar las figuras humanas, y esto puede verse en el célebre grabado de Leonardo Da Vinci para el libro "La Divina Proporción" de Luca Pacioli), la magia blanca o benigna tiene al pentalfa o pentagrama como uno de sus símbolos principales con su vértice medianero superior hacia arriba, por el contrario un pentalfa invertido (con el vértice medianero hacia abajo) es considerado como parte de un ritual de magia negra.

En ciencia propiamente dicha la estrella pentagrama es un interesante diagrama que grafica varias leyes matemáticas: se le encuentra como representante en logaritmos, la sucesión de Fibonacci, la espiral logarítmica y por esto también en las fractales etc.

Características

Un pentagrama ilustrando la sección áurea contenida en él.

Un pentagrama regular es un polígono en estrella {5/2}. Se dibuja sencillamente partiendo de un pentágono regular, uniendo las esquinas alternadas con líneas y borrando el pentágono original. También pueden extenderse los lados del pentágono hasta su intersección, obteniendo un pentagrama más grande.

La proporción áurea, φ = (1+√5)/2 = 1.618…, que satisface

\phi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ
\phi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)
\phi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,

tiene un papel importante en los pentágonos y pentagramas regulares. Cada línea está dividida en segmentos más pequeños, y si se divide la longitud del segmento más largo por el segmento más corto de cualquier par de sementos, se obtiene φ.

\phi = \frac{\mathrm{rojo}}{\mathrm{verde}} = \frac{\mathrm{verde}}{\mathrm{azul}} = \frac{\mathrm{azul}}{\mathrm{purpura}}

También, el lado del pentágono mayor es una línea verde, mientas que la diagonal del pentagrama menor es de la misma longitud que el segmento de línea azul.

Como el pentágono regular, y un pentágono regular con un pentagrama dentro, etc., el pentagrama regular tiene como grupo de simetría el grupo diédrico de orden 10.

Algunos valores trigonométricos significativos

\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=(\phi-1)/2=1/(2\phi)
\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}
\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}
\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}
\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}
\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} = \phi/2
\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5}
\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}

Como resultado, en un triángulo isósceles con uno o dos ángulos de 36°, el más largo de los lados es φ veces mayor que el más corto, tanto en los triángulos agudos como en los obtusos.

Miscelánea

Las actuales banderas de Etiopía y de Marruecos tienen dibujado un pentalfa en su centro.

Véase también

Enlaces externos

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