Teoremas de Mertens

Teoremas de Mertens

En matemáticas, los teoremas de Mertens (por Franz Martens, que los demostró) son tres resultados de teoría de números enunciados en 1874 y que tratan sobre la densidad de los números primos, y otro resultado de análisis.

Contenido

Teoría de números

Primer teorema de Mertens

\ln n - \sum_{p \leq n} \frac{\ln p}{p} = O(1) \quad \hbox{cuando}\ n\to\infty,
Véase también: Notación de Landau

Segundo teorema de Mertens

\lim_{n\to\infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p \leq n}\frac1p\right)=0,2614972128\ldots,

Ese número es la constante de Meissel-Mertens.

Tercer teorema de Mertens

\lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p \leq n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma},

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Teorema de Mertens en análisis

Si una serie infinita real o compleja

\sum_{n=1}^\infty a_n

converge a A y otra

\sum_{n=1}^\infty b_n

converge absolutamente a B, entonces su producto de Cauchy converge a AB.

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