Principio del Módulo Máximo

Principio del Módulo Máximo

Principio del Módulo Máximo

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En rojo, representación del módulo de cos(z) para valores de z en el disco unidad (en azul). Obsérvese como el máximo del módulo no se alcanza en el interior del disco.

Sea A\subset \mathbb{C}, un conjunto conexo y abierto (si no es conexo, lo que sigue es válido para cada componente conexa) y f:A\longrightarrow \mathbb{C} una función holomorfa no constante. Entonces f no alcanza su máximo sobre A, es decir:

\forall z \in A, \exists w \in A, t.q. |f(w)|>|f(z)|.

Este es el principio del módulo máximo.

Este resultado es bastante sorprendente, al mostrar cuan especiales son las funciones analíticas, pues bien sabemos que en \mathbb{R} ese resultado no es cierto (basta tomar cualquier función diferenciable acotada, como sin(x)).

Consecuencias

Un corolario inmediato es que si A es además acotado, y f puede ser extendida en forma continua a \bar A (que es un conjunto compacto, por lo que | f | alcanzará un máximo sobre \bar A), entonces: max_{z\in \bar A}|f(z)|=max_{z\in \partial \bar A}|f(z)|. Más aun, se cumplirá que \forall z \in A, |f(z)|<max_{z\in \partial \bar A}|f(z)|.

Otro corolario, no tan inmediato, es el principio del módulo mínimo, que dice lo siguiente: si \forall z \in A, |f(z)|>0 (i.e., f no se anula), entonces f tampoco alcanza su mínimo, i.e., \forall z \in A, \exists w \in A t.q. |f(w)|<|f(z)| . Este resultado se basa en aplicar el principio del módulo máximo a la función g(z) = 1 / f(z), que es analítica pues f no se anula. Obviamente, si A es acotado, resultados análogos a los del principio del módulo máximo se pueden concluir.

Obtenido de "Principio del M%C3%B3dulo M%C3%A1ximo"

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