Símbolo de Pochhammer

Símbolo de Pochhammer

Sean z un número complejo y n un número entero, el símbolo de Pochhammer[1] está definido por

(z)_n = z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1);\qquad(z)_0 = 1.

Si z y z+n no son enteros negativos, entonces

(z)_n = \frac{\Gamma(z+n)}{\Gamma(z)},

donde Γ es la función gamma.

Los símbolos de Pochhammer aparecen en la expansión en series de funciones especiales.

Propiedades

Algunas de las propiedades de los símbolos de Pochhammer son las siguientes:

(1)_n = n!\quad\mathrm{para\ }n\ge 0,
(z)_{n+m} = (z)_n(z+n)_m,\,
(-z)_n = (-1)^n(z-n+1)_n,\,
{z\choose n} = \frac{(-z)_n}{n!}.

Aplicaciones

Como se mencionó más arriba, los símbolos de Pochhammer se usan en la expansión en series de potencia de funciones. He aquí un par de ejemplos:

  1. El teorema del binomio de Newton puede expresarse:
    (1+t)^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)_k}{k!}\,t^k\qquad|t|<1
  2. La función hipergeométrica confluyente se puede expresar como:
    _2F_1(a,b;c;z) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k}\,z^k

Notas y referencias

  1. ↑ Introducido por Leo August Pochhammer

___

Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag. 0-387-97558-6. 


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