Serie asintótica

En matemáticas, una expansión asintótica o serie asintótica o "serie de Poincaré" es una serie formal de funciones tal que converge asintóticamente a una función dada, esto significa que si cortamos la serie se obtiene una aproximación de la función de la cual es serie asintótica, pero el límite formal de la serie cuando se suman todos sus elementos no es esa misma función, de hecho diverge, pudiendo el argumento de la serie diverger también a infinito o no.

Si φ_n es una secuencia de funciones continuas sobre un dominio y, si L es un punto de la frontera de dicho dominio (infinito o no) entonces, dicha secuencia de funciones se denomina escala asintótica si, para n se cumple:

$\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L)$ .

Si f es una función continua en el dominio de la escala asintótica, entonces f admite una serie asintótica de orden N $\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)$ con respecto a la escala si

$f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L).$

$f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).$

Si una de estas dos condiciones se cumple para todo N, $\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)$ será una serie asintótica de f, denotándose este hecho así:

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L)$ .

Ver análisis asintótico, Notación de Landau y Cota superior asintótica.

Este tipo de series surgen en la fórmula de Euler-Maclaurin y en transformadas integrales como en las transformadas de Laplace y de Mellin. La integración por partes también puede dar como resultado series asintóticas.

Ejemplos de series asintóticas

Función Gamma de Euler

$\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots \ (x \rightarrow \infty)$

Exponencial integral

$xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \rightarrow \infty)$

Función zeta de Riemann

$\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N-1}n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}}$
donde

B 2 m

son los números de Bernoulli y $s^{\overline{2m-1}}$ es un símbolo de Pochhammer. Esta expansión es válida para todo complejo s y a veces se utiliza para calcular la funcion zeta usando valores suficientemente grandes de N, de hecho, que cumplan

N > | s |

Función error

$\sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) = 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.$

Ejemplo detallado

Las series asintóticas se suelen obtener cuando se usa una serie ordinaria en una expresión formal que saca a la serie de su dominio de convergencia. Por ejemplo tomemos la serie geométrica:

$\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^\infty w^n.$

La función de la izquierda está definida para todo el plano complejo $w\ne 1$ , mientras que la expresión de la derecha solamente converge para complejos $| w | < 1$ . Multiplicando a ambos lados de la igualdad por $e - w / t$ e integrando entre 0 y $\infty$ se obtiene:

$\int_0^\infty \frac{e^{-w/t}}{1-w} dw = \sum_{n=0}^\infty t^{n+1} \int_0^\infty e^{-u} u^n du.$

La integral de la izquierda puede expresarse en términos de la exponencial integral. La integral de la derecha, tras una sustitución $u = w / t$ , se ve que es la función gamma de Euler. Evaluando ambas integrales, se obtiene la siguiente serie asintótica:

$e^{-1/t}\; \operatorname{Ei}\left(\frac{1}{t}\right) = \sum _{n=0}^\infty n! \; t^{n+1}.$

Claramente la serie es no convergente para cualquier valor de t distinto de cero. Sin embargo, si mantenemos t pequeña y truncamos la serie de la derecha a un número finito de términos, se obtiene una aproximación bastante buena del valor de $\operatorname{Ei}(1/t)$ . Sustituyendo $x = - 1 / t$ y teniendo en cuenta que $\operatorname{Ei}(x)=-E_1(-x)$ , se obtiene la serie asintótica dada más arriba en este mismo artículo.

Referencias

Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975
A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, New York, 1955
Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford University Press, 1949
Paris, R. B. and Kaminsky, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
Whittaker, E. and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963

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