Símbolos de Christoffel

En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel, así nombrados por Elwin Bruno Christoffel (1829 - 1900), son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi-Civita derivada del tensor métrico. Se utilizan los símbolos de Christoffel siempre que se deban realizar cálculos teóricos que implican geometría, pues permiten efectuar cálculos muy complejos sin confusión. Inversamente, la notación formal (sin índices) para la conexión de Levi-Civita, es elegante y permite que los teoremas sean establecidos de un modo breve, pero son casi inútiles para los cálculos prácticos.

Preliminares

Las definiciones dadas abajo son válidas para las variedades de Riemann y las variedades seudoriemannianas, tales como las de la relatividad general, con la distinción cuidadosa que debe ser hecha entre los índices superiores e inferiores (índices contra- y covariantes). Las fórmulas valen para cualquier convención de signo, a menos que se establezca explícitamente en forma diferente.

Definición

Los símbolos de Christoffel se pueden derivar de la anulación de la derivada covariante del tensor métrico g_{i k}:

$D_lg_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}- g_{mk}\Gamma^m_{il} - g_{im}\Gamma^m_{kl}=0$

Permutando los índices, y resumiendo, se puede solucionar explícitamente para la conexión:

$\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)=\frac{1}{2}g^{il} \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^l} + \frac{1}{2}g^{ik} \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^k} - \frac{1}{2}g^{im} \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m}$

Obsérvese que aunque los símbolos tienen tres índices en ellos, no son tensores. No se transforman como tensores. En cambio, son los componentes de un objeto en el segundo fibrado tangente, un fibrado "jet". Vea abajo para las propiedades de transformación de los símbolos de Christoffel bajo cambio de la base coordenada.

Observe que la mayoría de los autores eligen definir los símbolos de Christoffel en una base coordenada holonómica, que es la convención seguida aquí. En coordenadas no holonómicas, los símbolos de Christoffel toman la forma más compleja:

$\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} + c_{mkl}+c_{mlk} - c_{klm} \right)$

donde $c_{klm}=g_{mp} {c_{kl}}^p$ son los coeficientes de conmutación de la base; es decir,

$[e_k,e_l] = {c_{kl}}^m e_m$

donde e_k son los vectores de base y [,] es el corchete de Lie. Un ejemplo de una base anholonómica con coeficientes no triviales de conmutación son las coordenadas esféricas y cilíndricas.

Las expresiones abajo son válidas solamente en una base holonómica, a menos que se establezca en forma diferente.

Relación con la notación sin índices

Sean X y Y campos vectoriales con los componentes Xⁱ y Y^k. Entonces el componente k-ésimo de la derivada covariante de Y con respecto a X viene dada por

$\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i D_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{im} Y^m\right)$ .

Algunos libros viejos de física escriben de vez en cuando dx en lugar de X, y lo ponen después de la ecuación, más bien que antes. Aquí, se utiliza la notación de Einstein, los índices repetidos establecen la adición sobre esos índices y la contracción con el tensor métrico sirve para levantar y para bajar índices:

$\langle X,Y\rangle = g(X,Y) = X^i Y_i = g_{ik}X^i Y^k$ .

Tenga presente que $g_{ik}\neq g^{ik}$ y que $g^i_k=\delta^i_k$ , la delta de Kronecker. La convención es que el tensor métrico es el que tiene los índices inferiores; la forma correcta de obtener g^{i k} de g_{i k} es solucionar la ecuación lineal $g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k$ .

La afirmación de que la conexión es libre de torsión , a saber que

$\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]$

es equivalente a la afirmación de que el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores:

$\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$ .

El artículo sobre derivada covariante proporciona discusión adicional de la correspondencia entre las notaciones con o sin índices. Contrayendo índices ligados, se consigue

$\Gamma^i_{ki}=\frac{1}{2} g^{im}\frac{\partial g_{im}}{\partial x_k}=\frac{1}{2g} \frac{\partial g}{\partial x_k} = \frac{\partial \log \sqrt{|g}}{\partial x_k}$

Donde |g| es el valor absoluto del determinante de tensor métrico g_{i k}. Similarmente,

$g^{kl}\Gamma^i_{kl}=\frac{-1}{\sqrt{|g}} \;\frac{\partial\sqrt{|g|}\,g^{ik}} {\partial x^k}$

La derivada covariante de un vector V^m es

$D_l V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^l} + \Gamma^m_{kl} V^k$

La divergencia covariante es

$D_m V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^m} + V^k \frac{\partial \log \sqrt{|g}}{\partial x^k} = \frac{1}{\sqrt{|g}} \frac{\partial (V^m\sqrt{|g|})}{\partial x^m}$ .

La derivada covariante de un tensor A^{i k} es

$D_l A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^l} + \Gamma^i_{ml} A^{mk} + \Gamma^k_{ml} A^{im}$

Si el tensor es antisimétrico, entonces su divergencia se simplifica a

$D_k A^{ik}= \frac{1}{\sqrt{|g}} \frac{\partial (A^{ik}\sqrt{|g|})}{\partial x^k}$ .

La derivada contravariante de un campo escalar φ se llama el gradiente de φ. Es decir, el gradiente es el diferencial con el índice levantado:

$D^i\phi=g^{ik}\frac{\partial\phi}{\partial x^k}$

El laplaciano de un potencial escalar viene dado por

$\Delta \phi=\frac{1}{\sqrt{|g}} \frac{\partial}{\partial x^i}\left(g^{ik}\sqrt{|g|}\frac{\partial\phi}{\partial x^k}\right)$ .

El laplaciano es la divergencia covariante del gradiente, esto es Δφ = D_i Dⁱφ .

Curvatura de Riemann

El tensor de curvatura de Riemann viene dado en términos de los símbolos de Christoffel y las derivadas de estos por:

$R_{iklm}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial^2g_{im}}{\partial x^k \partial x^l} + \frac{\partial^2g_{kl}}{\partial x^i \partial x^m} - \frac{\partial^2g_{il}}{\partial x^k \partial x^m} - \frac{\partial^2g_{km}}{\partial x^i \partial x^l} \right) +g_{np} \left( \Gamma^n_{kl} \Gamma^p_{im} - \Gamma^n_{km} \Gamma^p_{il} \right)$ .

Las simetrías del tensor son:

$R_{iklm}=R_{lmik}\,$ y $R_{iklm}=-R_{kilm}=-R_{ikml}\,$ .

Es decir, es simétrico en el intercambio del primer y último par de índices, y antisimétrico en la permutación de un par.

La suma de la permutación cíclica es

$R_{iklm}+R_{imkl}+R_{ilmk}=0\,$

La identidad de Bianchi es

$D_m R^n_{ikl} + D_l R^n_{imk} + D_k R^n_{ilm}=0$

Curvatura de Ricci

El tensor de Ricci viene dado por una contracción de índices del tensor de curvatura de Riemann, explícitamente contrayendo índices:

$R_{ik}=g^{lm}R_{limk} \,$

Usando las fórmulas de la sección anterior y aplicando la contracción, se puede ver que el tensor de Ricci viene dado en términos de los símbolos de Christoffel por:

$R_{ik}=\frac{\partial\Gamma^l_{ik}}{\partial x^l} - \frac{\partial\Gamma^l_{il}}{\partial x^k} + \Gamma^l_{ik} \Gamma^m_{lm} - \Gamma^m_{il}\Gamma^l_{km}$

$R_{ii}=\frac{\left(\partial\Gamma^l_{ii} \right)}{\partial x^l} - \frac{\left(\partial\Gamma^l_{il} \right)}{\partial x^i} + \Gamma^l_{ii} \Gamma^m_{lm} - \Gamma^m_{il}\Gamma^l_{im}$

$R_{ii}=\frac{\left(\partial\Gamma^l_{ii} \right)}{\partial x^l} - \frac{\left(\partial\Gamma^l_{il} \right)}{\partial x^i} + \Gamma^l_{ii} \Gamma^l_{ll} - \Gamma^i_{ii}\Gamma^i_{ii}$

$R_{ik}=- \Gamma^k_{ii}\Gamma^i_{kk}$

Este tensor es simétrico: $R i k = R k i$ . Si se realiza una última contracción sobre los dos índices del tensor de Ricci se obtiene la curvatura escalar que viene dada por:

$R=g^{ik}R_{ik} \,$ .

La derivada covariante de la curvatura escalar se sigue de la identidad de Bianchi:

$D_l R^l_m = \frac{1}{2} \frac{\partial R}{\partial x^m}$ .

Tensor de Weyl

El tensor de Weyl viene dado por

$C_{iklm}=R_{iklm} + \frac{1}{2}\left( - R_{il}g_{km} + R_{im}g_{kl} + R_{kl}g_{im} - R_{km}g_{il} \right) + \frac{1}{6} R \left( g_{il}g_{km} - g_{im}g_{kl} \right)$

Cambio de variable

Bajo cambio de variable de $(x 1,..., x n)$ a $(y 1,..., y n)$ , los vectores se transforman como

$\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}$

y por tanto

$\overline{\Gamma^k_{ij}} = \frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}$

donde el sobrelineado denota los símbolos de Christoffel en el marco de las coordenadas $(y 1,..., y n)$ .

Referencias

L. D. Landau, E. M. Lifschitz, V. B. Berestetskii y L. P. Pitaevskii (Academia de Ciencias Moscú, URSS), "Curso de física teórica. Tomo II, Teoría clásica de los campos (5ª edición), Editorial Reverté, 1987, Barcelona. ISBN 84-291-4082-4

Categorías:

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

Símbolos de Christoffel — En matemáticas y física, los símbolos de Christoffel, así nombrados por Elwin Bruno Christoffel (1829 1900), son expresiones en coordenadas espaciales para la conexión de Levi Civita derivada del tensor métrico. Se utilizan los símbolos de… … Enciclopedia Universal
Relatividad general — Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomienda Introducción a la relatividad general Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el… … Wikipedia Español
Teorema fundamental de la geometría de Riemann — En geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico. Tal conexión se llama… … Wikipedia Español
Introducción matemática a la relatividad general — La teoría de la relatividad general es una teoría métrica de la gravitación que incorpora además una descripción básica de los sistemas de referencia totalmente generales. Matemáticamente la teoría de la relatividad describe los efectos del campo … Wikipedia Español
Fuerza ficticia — Una fuerza ficticia es el efecto percibido por un observador estacionario respecto a un sistema de referencia no inercial cuando analiza su sistema como si fuese un sistema de referencia inercial. La fuerza ficticia se representa… … Wikipedia Español
Fuerza — Para otros usos de este término, véase Fuerza (desambiguación). Descomposición de las fuerzas que actúan sobre un sólido situado en un plano inclinado. En física, la fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento … Wikipedia Español
Sistema de referencia inercial — En mecánica newtoniana, un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia en el que las leyes del movimiento cumplen las leyes de Newton y, por tanto, la variación del momento lineal del sistema es igual a las fuerzas reales sobre el… … Wikipedia Español
Tensor de curvatura — En geometría diferencial, el tensor de curvatura de Riemann , o simplemente tensor de curvatura o tensor de Riemann, supone una generalización del concepto de curvatura de Gauss, definido para superficies, a variedades de dimensiones arbitrarias … Wikipedia Español
Lagrangiano — En física, un lagrangiano es una función matemática a partir de la cual se pueden obtener la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema físico. De hecho, en física moderna el lagrangiano se… … Wikipedia Español
Ecuación de movimiento — Saltar a navegación, búsqueda En física, una ecuación de movimiento es una ecuación diferencial que caracteriza cómo es la evolución temporal de un sistema físico. Esta ecuación relaciona la derivada temporal de una o varias variables que… … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Símbolos de Christoffel

Contenido

Preliminares

Definición

Relación con la notación sin índices

Curvatura de Riemann

Curvatura de Ricci

Tensor de Weyl

Cambio de variable

Referencias

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Símbolos de Christoffel

Contenido

Preliminares

Definición

Relación con la notación sin índices

Curvatura de Riemann

Curvatura de Ricci

Tensor de Weyl

Cambio de variable

Referencias

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo