Sistema conservativo

Sistema conservativo

Un sistema conservativo es un sistema mecánico en que la energía mecánica se conserva. La mayoría de los ejemplos de sistemas conservativos la conservación de la energía se sigue del hecho de que las interacciones entre las diferentes partículas vienen descritas por fuerzas conservativas. En consecuencia en dichos sistemas la energía mecánica es una integral del movimiento y por tanto una cantidad conservada.

Los sistemas mecánicos disipativos son ejemplos de sistemas mecánicos no conservativos.

Contenido

Mecánica newtoniana

Un sistema de partículas que interactúan entre ellas es un sistema mecánico conservativo, si las fuerzas puden expresarse como gradiente de un cierto potencial, para verlo basta considerar las ecuaciones del movimiento:

m_i\frac{d^2\mathbf{r}_i(t)}{dt^2} -
\left[ \sum_{j\ne i} \mathbf{F}_{ji}(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \right]= 0

Donde ri(t) es la posición de la partícula i-ésima en el instante de tiempo t, Fji representa la fuerza que ejerce la partícula j sobre la partícula i. Si admitimos que dichas fuerzas son conservativas y pueden derivarse de un potencial:

\mathbf{F}_{ji} = -\boldsymbol{\nabla}V_{ji} = -\frac{dV_{ji}}{d\mathbf{r}}

Es inmediato comprobar que la energía mecánica definida como la suma de energía cinética y energía potencial:

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): E(\mathbf{r}_i,\dot\mathbf{r}_i) = E_c(\dot\mathbf{r}_i) + E_p(\mathbf{r}_i) = \left( \sum_{i=1}^N \frac{m_i}{2}\dot\mathbf{r}_i^2\right) + \left( \sum_i\sum_{j < i} \mathbf{V}_{ji}(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i) \right)

Es una magnitud constante a lo largo de las "trayectorias" reales del sistema, cosa que puede verse directamente:

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \frac{dE}{dt}= \frac{dE_c}{dt} + \sum_i \frac{dE_p}{d\mathbf{r}_i}\cdot\dot\mathbf{r}_i = \sum_i \dot\mathbf{r}_i \cdot \left(m_i\frac{d\dot\mathbf{r}_i}{dt} + \sum_{j \ne i} \left( \frac{dV_{ji}}{d\mathbf{r}_i} \right)\right) = \sum_i \dot\mathbf{r}_i \cdot \left( m_i\frac{d^2 \mathbf{r}_i}{dt^2} + \sum_{j \ne i} -\mathbf{F}_{ji} \right) = 0

Además puede probarse que si las fuerzas sólo dependen de la distancia entre las partículas y su sentido de acción coincide con el de la línea que une a dichas partículas se conserva además tanto el momento lineal como el momento angular.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En mecánica hamiltoniana un sistema es conservativo si el hamiltoniano o el lagrangiano expresados mediante un conjunto de coordenadas naturales no depende explícitamente del tiempo, ya que en ese caso: [1]

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \frac{dH}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{p}\dot\mathbf{q}-L \right) = \dot\mathbf{p}\dot\mathbf{q} + \mathbf{p}\ddot\mathbf{q} - (\mathbf{p})\ddot\mathbf{q} - (\dot\mathbf{p})\dot\mathbf{q} -\frac{\part L}{\part t} = -\frac{\part L}{\part t}

Donde se han tenido en cuenta las ecuaciones del movimiento y la definición del momento conjugado:

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \mathbf{p} = \frac{\part L}{\part \dot\mathbf{q}}, \qquad \dot\mathbf{p} = \frac{\part L}{\part \mathbf{q}}

Para ver si el sistema es natural, es decir, si el hamiltoniano coincide con la energía, se calcula la energía cinética expresada en las coordenadas generalizadas a partir de su expresión newtoniana.[2]

Integrabilidad

Los sistemas de un sólo grado de libertad conservativos son automáticamente integrables.

Referencias

  1. Landau & Lifshitz, p.159
  2. Fernández Rañada, p.106.

Bibliografía

  • Landau, L.D.; Lifshitz E.M.. «VII». En Reverté. Mecánica (2ª edición). Barcelona. pp. 158-189. ISBN 84-291-4080-6. 
  • Fernádez Rañada, Antonio. Fondo de Cultura Económica. ed. Dinámica Clásica (1ª edición). México DF. pp. 77-131. ISBN 84-206-8133-4. 

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