Sumatorio

Sumatorio

El sumatorio, o la operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( Σ ), y se define como :

\sum_{i=m}^n x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} +\cdots + x_n

Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

m \leq n

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

\sum^{5}_{i = 1} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:

\sum^{n}_{i = 1} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}
\sum^{1000}_{i = 1} i = \frac{1000 \; (1000 +1)}{2} = 500. 500

Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el "i-ésimo" sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:

\overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n}

Algunas fórmulas de la operación de suma

  • \sum^n_{i = 1} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}


  • \sum^n_{i = m} i = \frac{n ( n + 1 ) - m ( m - 1 )}{2}


  • \sum^n_{i = 1} i^2 = \frac{n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )}{6}


  • \sum^n_{i = 1} i^3 = \left(\frac{n ( n + 1 )}{2}\right)^2


  • \sum^n_{i = 1} i^4 = \frac{n (n + 1) (2n + 1) (3n^2 + 3n - 1)}{30}


  • \sum^n_{i = 1} a = na


  • \sum^n_{i = 1} \frac{1}{a} = \frac{n}{a}

Algunas fórmulas relacionadas

  • Se puede expresar el número e, con un sumatorio:


\sum^{\infty}_{i = 0} \frac{1}{i!} = e



H_n= \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}


H_n = \sum_{i=0}^{n-1}\int_0^1 x^i\,dx



!n = n! \sum_{i=0}^n \frac {(-1)^i}{i!}


  • Para calcular cualquier integral definida, pero éste, es un método aproximado:


\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) \approx \int_a^b f(x)\ dx.



\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x

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