Productorio

El operador productoria, también conocido como multiplicatoria o pitatoria (por denotarse como una letra pi mayúscula), es un operador matemático que consiste en la multiplicación finita o infinita de factores mediante un símbolo matemático que simplifica la operación, llamado símbolo productorio. Se puede definir por inducción como sigue.

Se define

$\prod_{k=1}^1 a_k = a_1$

Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define

$\prod_{k=1}^{n+1} a_k = (\prod_{k=1}^n a_k)a_{n+1}$

Contenido

1 Ejemplo
2 Propiedades
- 2.1 Propiedad Multiplicativa
- 2.2 Propiedad Telescópica
3 Véase también

Ejemplo

Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes.

Se puede tomar n=1 y aplicar la segunda igualdad para obtener:

$\prod_{k=1}^2 a_k = (\prod_{k=1}^1 a_k)(a_2) = a_1a_2$ .

Definida para n=2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n=2 para luego obtener

$\prod_{k=1}^3 a_k = (\prod_{k=1}^2 a_k)(a_3) = (a_1a_2)a_3$ .

Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto $\mathit{(a_1a_2)a_3} \,\!$ es el mismo que $\mathit{a_1(a_2a_3)} \,\!$ y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente

$\mathit{a_1a_2a_3} \,\!$ para $\prod_{k=1}^3 a_k$ .

Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier $n \in \mathbb{N}$ sin que haya peligro de confusión.

Luego, se puede aplicar la definición de Multiplicatoria, para definir n! (n factorial) como sigue:

$\prod_{k=1}^n k = n!$

Se define 0!=1!=1

Propiedades

Se puede usar el Método de Inducción Matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.

Propiedad Multiplicativa

$\prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})} = (\prod_{k=1}^n a_k)(\prod_{k=1}^n b_k)$

Demostración por Inducción

i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad

$\prod_{k=1}^1 {({a_k}{b_k})} = a_1b_1 = (\prod_{k=1}^1 a_k)(\prod_{k=1}^1 b_k)$

y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = [\prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})}](a_{n+1}b_{n+1})$

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = (\prod_{k=1}^n a_k)(\prod_{k=1}^n b_k)a_{n+1}b_{n+1}$

(Definición por inducción)

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = [(\prod_{k=1}^n a_k)(a_{n+1})][(\prod_{k=1}^n b_k)(b_{n+1})]$

(Asociatividad en IR)

Luego,

$\prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} = (\prod_{k=1}^{n+1} a_k)(\prod_{k=1}^{n+1} b_k)$

Propiedad Telescópica

$\prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_n}{a_0}$ si cada $a_k \neq 0$

Demostración por Inducción

i) Analicemos para n=1

$\prod_{k=1}^1 {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_1}{a_0}$ con $a_0 \neq 0$ y la igualdad es cierta para n=1

ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n+1

$\prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = (\prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}})(\frac{a_{n+1}}{a_n})$ (Definición por inducción)

Luego,

$\prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_n}{a_0}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ que es lo que queríamos demostrar.

Nótese que nuestra exigencia era que para cada $\mathit{k} \,\!$ , $a_k \neq 0$ . En particular, para $\mathit{k=n} \,\!$ , $a_k = a_n \neq 0$ . Luego la simplificación es posible y

$\prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} = \frac{a_{n+1}}{a_0}$ .

Véase también

Categorías:

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

Producto vacío — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, un producto vacío es el resultado de multiplicar entre sí ningún número. Su valor numérico es 1, el elemento neutro del producto, de la misma manera que la suma vacía, que es el resultado de sumar… … Wikipedia Español
Factorial — n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 … Wikipedia Español
Serie de los inversos de los números primos — En el siglo III a. C., Euclides demostró la existencia de infinitos números primos. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró un resultado aún más profundo: La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge. Leonhard Euler… … Wikipedia Español
Multiplicación — Para saber cómo multiplicar, véase Algoritmo de multiplicación. Propiedad conmutativa: 3×4 = 12 = 4×3 doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres. La multiplicación es una operación matemática que… … Wikipedia Español
Resultante — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, la resultante de dos polinomio mónico P y Q sobre un cuerpo k se define como el producto: de las diferencias de sus raíces, donde x y y toma valores en la clausura algebraica de k. Para polinomios no… … Wikipedia Español
Símbolos matemáticos — Anexo:Símbolos matemáticos Saltar a navegación, búsqueda Contenido 1 Genéricos 1.1 = 1.2 ≔≡:⇔ 2 Aritmética … Wikipedia Español
Sumatorio — El sumatorio, o la operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( Σ ), y se define como : Esto … Wikipedia Español
Ayuda:Sistemas de escritura — Atajos A:SEA:SE A:ALFABETOA:ALFABETO Contenido … Wikipedia Español
Anexo:Símbolos matemáticos — Genéricos Símbolo Nombre se lee como Categoría = igualdad igual a todos x = y significa: x y y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente. 1 + 2 = 6 − 3 … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Productorio

Contenido

Ejemplo