Número armónico

El número armónico

H n,1

con $n=\lfloor{x}\rfloor$ (gráfica roja) con su límite asintótico

γ + log x

(gráfica azul).

En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:

$H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

Éste también es igual a n veces el inverso de la media armónica.

Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.

Contenido

1 Representación
2 Funciones generatrices
3 Aplicaciones
4 Generalizaciones
- 4.1 Números armónicos generalizados
- 4.2 Generalización al plano complejo
5 Referencias
6 Enlaces externos

Representación

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:

$H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.$

En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula

$\int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n + 1},$

y luego

$x^{n} + \frac{1 - x^n}{1 - x} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$

dentro de la integral.

Para los números naturales, H_n también se puede representar como:

$H_n = \sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 x^k\,dx$

H_n crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral

$\int_1^n {1 \over x}\, dx$

cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:

$\lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma$

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

Y también, como la correspondiente expansión asintótica:

$H_n = \gamma + \log{n} + \frac{1}{2}n^{-1} - \frac{1}{12}n^{-2} + \frac{1}{120}n^{-4} + \mathcal{O}(n^{-6})$

Funciones generatrices

Una función generatriz que indexa los números armónicos es

$\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\log(1-z)}{1-z},$

donde $log(z)$ es el logaritmo natural. Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:

$\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = -e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \frac {(-z)^k}{k!} = e^z \mbox {Ein}(z)$

donde $Ein(z)$ es la integral exponencial entera. Nótese que

$\mbox {Ein}(z) = \mbox{E}_1(z) + \gamma + \log z = \Gamma (0,z) + \gamma + \log z\,$

donde $Γ(0, z)$ es la función gamma incompleta.

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma:

$\psi(n) = H_{n-1} - \gamma.\,$

Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty}{\left(H_n - \log\left(n+{1 \over 2}\right)\right)}$

éste converge más rápidamente.

En 2001 Jeffrey Lagarias provó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:

$\sigma(n) \le H_n + \log(H_n)e^{H_n},$

es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n) denota la suma de los divisores de n.

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:

$H_{n,m}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}$

Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.

Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:

$H_{n,m}= H_n^{(m)} = H_m(n)$

El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.

$H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

En el límite, cuando $n\rightarrow \infty$ , los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.

$\lim_{n\rightarrow \infty} H_{n,m} = \zeta(m)$

Al igual que en la suma $\sum_{k=1}^n k^m$ aparecen los números de Bernoulli, en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling.

Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:

$\sum_{n=1}^\infty z^n H_{n,m} = \frac {\mbox{Li}_m(z)}{1-z}$

donde $Li m (z)$ es el polilogaritmo, and $| z | < 1$ . La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.

Generalización al plano complejo

De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:

$\int_a^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx = - \sum_{k=1}^\infty \frac {1}{k} {s \choose k} (a-1)^k$

la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales. Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton:

$\sum_{k=0}^\infty {s \choose k} (-x)^k = (1-x)^s$

concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma, así:

$\psi(s+1)+\gamma = \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx$

donde ψ(x) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener

$H_{s,2}=-\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k} {s \choose k} H_k$

Referencias

Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 - 100
Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers, (2002) Mathematics Magazine, 75 (2) pp 95-103.
Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.
Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities, (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359-378.
Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers, (2004) The Electronic Journal of Combinatorics, 11, #N15.

Enlaces externos

http://www.EulerArchive.org (en inglés)
Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín) [1]
Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés) [2]
Ed Sandifer, How Euler Did It.Estimating the Basel problem (en inglés) [3]
Harmonic number at Mathworld (en inglés)[4]

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