Superficie reglada

Superficie reglada

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

Clasificación de las superficies regladas

Superficies regladas son:

  • el plano
  • las superficies de curvatura simple:
    • superficie cilíndrica
      • superficie cilíndrica de revolución
      • superficie cilíndrica de no revolución
    • superficie cónica
      • superficie cónica de revolución
      • superficie cónica de no revolución
  • las superficies alabeadas
    • cilindroide
    • conoide
    • superficie doblemente reglada
      • paraboloide hiperbólico
      • hiperboloide de revolución

Ecuaciones matemáticas

Un hiperboloide de una sola hoja, es una superficie de revolución. Los alambres son líneas rectas.

Una superficie \mathbf{S} es reglada si por cada punto de la misma, existe una línea recta contenida en \mathbf{S}. Una superficie reglada \, S puede ser siempre descrita (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma:

\mathbf{S}(t,u) = \mathbf{p}(t) + u \mathbf{r}(t)

donde \mathbf{p}(t) es una curva en \mathbf{S}, y \mathbf{r}(t) es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo,

\begin{align} \mathbf{p} &= (\cos(t), \sin(t), 0)\\ \mathbf{r} &= \left( \cos \left( \frac{t}{2} \right) \cos(t) , \cos \left( \frac{t}{2} \right) \sin(t), \sin \left( \frac{t}{2} \right) \right) \end{align}

obtenemos una superficie que contiene la Cinta de Möbius.

Alternativamente, una superficie reglada \mathbf{S} puede ser modelada paramétricamente como:

\mathbf{S}(t,u) = (1-u) \mathbf{p}(t) + u \mathbf{q}(t)

Donde \mathbf{p} y \mathbf{q} son dos curvas de \mathbf{S} que no se intersecan. Por ejemplo, cuando \mathbf{p}(t) y \mathbf{q}(t) se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.

x^2 + y^2 - z^2 = 1 \,

Superficies desarrollables

Una banda de Möbius.

Un caso especial de la superficies regladas son las superficies desarrollables que, mediante deformaciones que no alteren las distancias entre sus puntos, pueden ser transformadas en un fragmento plano. Técnicamente existe una isometría entre estas superficies y un fragmento de plano. Decimos que es localmente desarrollable si existen isometrías locales; para que esto ocurra es necesario y suficiente que la curvatura gaussiana sea nula.

El cono, el cilindro y el propio plano son desarrollables, mientras que el hiperboloide no lo es. Para que una superficie sea desarrollable, es condición necesaria y suficiente que pueda ser construida con un trozo de papel sin arrugarlo, dicho coloquialmente. Así, una superficie construida plegando un pedazo rectangular de papel será desarrollable como una banda de Möbius o un cilindro. Una condición necesaria, tal como se desprende del theorema egregium de Gauss, es que la curvatura gaussiana de la superficie reglada sea idénticamente nula.


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