Superficie de revolución

Superficie de revolución

Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

Superficie de revolución.
  • Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
  • Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
  • Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
  • Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Contenido

Aplicaciones

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Área de una superficie de revolución

Si la curva está definida por las funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral

A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt

siendo x(t) siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función y = f(x), la integral se transforma en

A=2\pi\int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx,\ \mbox{para} \qquad x_1=x(t=a), \mbox{y} x_2=x(t=b)

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y

A=2\pi\int_{y_1}^{y_2} x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy,\ \mbox{para} \qquad y_1=f(x_1), \mbox{y} y_2=f(x_2)

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva x(t) = cos(t) y y(t) = sen(t) cuando t toma valores en el intervalo [0,π]. Su área, por tanto, será

A = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi

Geometría diferencial de superficies de revolución

Artículo principal: geometría diferencial de superficies

Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

\mathbf{r}(u,v) = (\rho(u)\cos v, \rho(u)\sin v, h(u)) \quad \mbox{con}\ v\in [0,2\pi)

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:

[I_{kl}(u,v)] =\begin{pmatrix} E(u,v) & F(u,v) \\ F(u,v) & G(u,v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho_u^2(u)+h_u^2(u) & 0 \\ 0 & \rho^2(u) \end{pmatrix}


Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

[II_{kl}(u,v)] =\begin{pmatrix} L(u,v) & M(u,v) \\ M(u,v) & N(u,v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\rho_uh_{uu}-\rho_{uu}h_u}{\sqrt{E}} & 0 \\ 0 & \frac{\rho h_u}{\sqrt{E}} \end{pmatrix}


Véase también

Referencias

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Superficie de revolución — ► locución GEOMETRÍA La engendrada por el movimiento de una curva que gira alrededor de una recta llamada su eje. * * * Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una… …   Enciclopedia Universal

  • revolución — (Del lat. revolutĭo, ōnis). 1. f. Acción y efecto de revolver o revolverse. 2. Cambio violento en las instituciones políticas, económicas o sociales de una nación. 3. Inquietud, alboroto, sedición. 4. Cambio rápido y profundo en cualquier cosa. 5 …   Diccionario de la lengua española

  • superficie — (Del lat. superficĭes). 1. f. Límite o término de un cuerpo, que lo separa y distingue de lo que no es él. 2. Extensión de tierra. 3. Aspecto externo de algo. 4. Fís. Magnitud que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones, largo y… …   Diccionario de la lengua española

  • Superficie reglada — Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe… …   Wikipedia Español

  • Revolución — (Del lat. revolutio, onis.) ► sustantivo femenino 1 Acción y resultado de revolver o revolverse. 2 POLÍTICA, SOCIOLOGÍA Cambio radical, y en ocasiones violento, en las instituciones políticas, económicas o sociales de una nación: ■ el campesinado …   Enciclopedia Universal

  • Superficie — (Del lat. superficies.) ► sustantivo femenino 1 Límite exterior de un cuerpo, que delimita el espacio que ocupa y lo separa y distingue del espacio circundante: ■ toda la superficie de su propiedad está cercada. SINÓNIMO extensión 2 Extensión de… …   Enciclopedia Universal

  • Superficie — El término superficie puede designar: En geografía: a la extensión o área de un territorio. En matemática: superficie, es aquello que sólo tiene longitud y anchura. –Euclides, Los Elementos, Libro I, definición 5ª. superficies curvas: superficie… …   Wikipedia Español

  • Revolución egipcia — de 2011 Revolución egipcia el Día de la ira, 25 de enero de 2011. Contexto del acontecimiento …   Wikipedia Español

  • Revolución verde — El aumento del uso de diversas tecnologías, tales como plaguicidas, herbicidas y fertilizantes, así como nuevas variedades de cultivos de alto rendimiento se emplearon en las décadas después de la Segunda Guerra Mundial para aumentar en gran… …   Wikipedia Español

  • Sólido de revolución — Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo. Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”