Teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass

El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

Contenido

Enunciado

Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) [a,b] entonces hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir f(x_1) \le f(x) \le f(x_2), para cualquier x\in [a,b]

Demostración

Como f([a,b]) está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Cómo M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Ésto genera una sucesión {dn} según vamos dando valores naturales a n. Cómo M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M.

Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto éste supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsucesión {d_{n_k}}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Cómo f es contínua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f(d_{n_k})} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo. 

La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a ésta.∎

Generalización del Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstrass también es válido para funciones escalares o vectoriales de varias variables. La imagen por un campo continuo de un conjunto compacto es un conjunto compacto, siendo este un escalar vectorial compacto.

Si f:C -> Rq es una función continua en C ( C es compacto de Rp) entonces D = f(C) es un conjunto compacto de Rq

Corolario

El conjunto imagen de la función f está acotado, es decir:

Imf = f([a,b]) = [f(x1),f(x2)]
donde m=f(x1) simboliza el valor mínimo absoluto y M=f(x2) el valor máximo absoluto.

Wikimedia foundation. 2010.

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