El análisis real es la rama de la matemática que se ocupa de los números reales y sus funciones. Se puede ver como una extensión rigurosa del cálculo, que estudia más profundamente las sucesiones y sus límites, continuidad, derivación, integración, y las sucesiones de funciones. Además empieza un proceso de abstracción cuyo sendero pasa por la topología.

Conceptos básicos

Los textos del «cálculo avanzado» normalmente comienzan con una introducción a las demostraciones matemáticas y la teoría de conjuntos, y redefinición de los conceptos básicos. Entonces se introduce los números reales axiomáticamente, o se los construye con sucesiones de Cauchy o como cortaduras de Dedekind de números racionales. Después, hacen una investigación de las propiedades de los números reales, siendo entre las más importantes la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Bernoulli.

Sucesiones y series

Después de terminar con los números reales, se investiga la convergencia, un concepto central al análisis, a través de los límites de sucesiones o puntos de acumulación de conjuntos. Varios tipos de series, como las series de potencias y la serie de Taylor, que ayuda en las definiciones de la exponencial y las funciones trigonométricas, son importantes en esta etapa. Se estudia (para empezar a desarrollar conceptos topológicos elementales) los varios tipos de subconjuntos de los números reales: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, conjuntos compactos, conjuntos conexos, etc. Donde se estudian los teoremas de Bolzano-Weierstrass y el de Heine-Borel.

Funciones continuas

Ahora se estudian las funciones, y se define el concepto y propiedades de continuidad. Esto requiere el uso de límites de funciones, que ahora se define más precisamente (con la definición épsilon-delta del límite). Aquí se presenta y demuestra los teoremas importantes, como el teorema de valor intermedio.

Derivación o Diferenciación

En este momento se puede definir la derivada como un límite, y se puede demostrar rigurosamente los teoremas importantes sobre la derivación. Se construyen las serie de Taylor y MacLaurin.

Es importante destacar que también se estudian las funciones de varias variables tanto como sus derivadas que son las derivadas parciales o la diferenciación parcial. Es muy importante estudiar el teorema función inversa y el teorema de la función implícita, tanto como las funciones de Morse.

Integración

La integración, que se puede definir (imprecisamente) como «el área debajo de la gráfica» de una función va naturalmente después de la derivación, porque es también la antiderivada. Se comienza con la integral de Riemann, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos (con una partición), extender los subintervalos hacia arriba hasta que llegue, o al mínimo de la función en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma inferior), o al máximo en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma superior). También existe otro tipo de integral, que puede integrar más funciones, llamada la integral de Lebesgue, que usa la medida y el concepto de «en casi todas partes». Éste se muestra después.

Con la teoría de integración se pueden demostrar varios teoremas, en el caso de Riemann o de Lebesgue, como el teorema de Fubini, pero de un modo más importante el teorema fundamental del cálculo (una paradoja, porque no se lo ve muy detalladamente en el cálculo; sólo en el análisis real.)

Regreso a los conceptos básicos en ambientes más generales

Habiendo hecho todo esto, es útil regresar a los conceptos de continuidad y convergencia, y estudiarlos en un contexto más abstracto, en preparación para estudiar los espacios de funciones, que se hace en el análisis funcional o más especializados tal como el análisis complejo.