Intervalo (matemática)

Intervalo (matemática)

En matemáticas, un intervalo (del lat intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Contenido

Caracterización

El intervalo real I\ es la parte de \R que verifica la siguiente propiedad:

Si x\ e y\ pertenecen a I\ con x \le y , entonces para todo z\ tal que x \le z \le y\ , se tiene que z\ pertenece a I\ .

Notación

Intervalo abierto (a,b).
Intervalo cerrado [a,b].
Intervalo semiabierto [a,b).
Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

  • (a,b)\ o bien ]a,b[\
  • Notación conjuntista o en términos de desigualdades: \{x\in\R\,|\,a<x<b\}

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

  • [a,b]\
  • Notación conjuntista o en términos de desigualdades: \{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

  • [a,b)\ o bien [a,b[\ , notación conjuntista: \{x\in\R\,|\,a\le x<b\}
  • (a,b]\ o bien ]a,b]\ , notación conjuntista: \{x\in\R\,|\,a<x\le b\}

Nota:

Ejemplos

Função quadrática restrita a um intervalo.svg Transformación lineal de intervalos 02.svg Translin.png Number-line.gif

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación Intervalo Longitud Descripción
[a, b] \, a \le x \le b b-a \, Intervalo cerrado de longitud finita.
[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \! a \le x < b\! b-a \, Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \! a < x \le b b-a \, Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \! a<x<b \! b-a \, Intervalo abierto.
]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \! x < b \! \infty Intervalo semiabierto.
]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \! x \le b \! \infty Intervalo semiabierto.
[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \! x \ge a \! \infty Intervalo semiabierto.
]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \! x > a \! \infty Intervalo semiabierto.
]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \! x \in \mathbb{R} \! \infty Intervalo a la vez abierto y cerrado.
\{ a \} \! x=a \! 0 \! Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
\{\} = \emptyset\! x no existe Sin longitud. Conjunto vacío.

Propiedades

  • La intersección de intervalos de \R es también un intervalo.
  • La unión de intervalos de \R no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
  • Las partes conexas de \R son exactamente los intervalos.
  • Los intervalos cerrados son lo que se denominada «segmento de recta».
  • La imagen por una función continua de un intervalo de \R es un intervalo de \R. Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

  • I + J = [ a + c , b + d ].
  • I - J = [ a - d, b - c ].
  • Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

En el espacio métrico \R, los intervalos son las bolas abiertas y cerradas.

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de \R^n, que es el producto cartesiano de n intervalos: I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n, uno en cada eje de coordenadas.

De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

E (a ; \epsilon) = \left\{ \left. x \in \real \ \ \right| \ \ |x - a| < \epsilon \right\}
1 Zahl mit Epsilon Umgebung.svg

Véase también

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Intervalo — El término Intervalo puede hacer referencia a: En matemática, un intervalo es una porción de recta. En música, un intervalo es un espacio de tiempo. En estadística, intervalo de confianza, par de números entre los cuales se estima que estará… …   Wikipedia Español

  • Filosofía de la matemática — Saltar a navegación, búsqueda La filosofía de las matemáticas es una rama de la filosofía. Según Michael Dummett puede considerarse que hay cuatro preguntas fundamentales sobre el contenido de la filosofía de las matemáticas: ¿Cómo sabemos que… …   Wikipedia Español

  • Función matemática — En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados. En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera… …   Wikipedia Español

  • Continuidad (matemática) — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que… …   Wikipedia Español

  • Notación matemática — La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una operación, una entidad matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse… …   Wikipedia Español

  • Variedad (matemática) — En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180°, pues una esfera no es un espacio euclídeo. Sin embargo, localmente, las leyes de la geometría euclídea son buenas aproximaciones. Este ejemplo ilustra cómo la esfera puede… …   Wikipedia Español

  • Entorno (matemática) — Un conjunto V en el plano es un entorno de un punto p si un pequeño disco alrededor de p está contenido en V …   Wikipedia Español

  • Wikiproyecto:Ilustración/Taller gráfico/Peticiones —   Proyecto   Peticiones   …   Wikipedia Español

  • Conjunto conexo — Un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topológico (donde es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos abiertos de la topología. Intuitivamente, un… …   Wikipedia Español

  • Integración — La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Para otros usos de este término, véase Integración …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”