Teorema del valor intermedio
- Teorema del valor intermedio
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Teorema de los valores intermedios.
En análisis real el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los valores intermedios comprendidos entre extremos del intervalo.
Enunciado
El teorema del valor intermedio establece que:
Sea f una función continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cada u tal que f(a) < u < f(b), existe al menos un c dentro de (a,b) tal que f(c) = u.
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La misma conclusión se obtiene para el caso que f(b) < f(a).
Enunciados equivalentes
- Como consecuencia del teorema de Weierstrass se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo, siendo los subconjuntos conexos de los números reales.
- Teorema de Bolzano: caso particular
.
Demostración
El TVI hace parte de los llamados «teoremas de existencia».
| Demostración |
| Demostración utilizando el supremo: Sea f(a) ≤ u ≤ f(b), X el subconjunto del intervalo [a , b] constituido por los reales x que verifican f(x) ≤ u.
Este conjunto es no vacío (contiene a) y acotado superiormente (por b ).
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Referencias
- Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.
- Clarke, Douglas A. (1971). Foundations of Analysis. Appleton-Century-Crofts. pp. 284.
Enlaces externos
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2010.
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