Función contador de números primos

Función contador de números primos
Los 60 primeros valores de π(n).

En matemática, la función contador de números primos es una función que cuenta el número de números primos menores o iguales a cierto número real x. Se denota mediante \scriptstyle\pi(x) (no debe confundirse con el número π) y analíticamente , se define como:

\pi (x) = \# \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x\}

donde # significa la cantidad de números que cumplen la condición. Algunos valores son:

π(1) = 0 (no hay primos ≤ 1)
π(2) = 1 (único primo ≤ 2: 2)
π(3) = 2 (primos ≤ 3: 2 y 3)
π(4) = 2 (id.)
π(5) = 3 (primos ≤ 5: 2, 3 y 5)
...
π(10) = 4 (primos ≤ 10: 2, 3, 5 y 7)
...

Teorema de los números primos

Artículo principal: Teorema de los números primos

Una de las consecuencias más importantes de la teoría de números es que el valor de π(x) se aproxima al de x/ln x cuando x tiende al infinito. Es decir:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}

Esto no significa que la diferencia entre π(x) y x/ln x se aproxime a cero, sino que su cociente se aproxima a 1. Este resultado, aventurado por primera vez por Carl Friedrich Gauss, se denomina teorema de los números primos. Tras muchos intentos fallidos de demostración, los matemáticos Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin consiguieron, de forma independiente, una demostración definitiva.

Si se expresa la relación anterior cómo

\frac{\pi(x)}{x}\sim\frac{1}{\ln x}

se puede interpretar como que la densidad media de números primos entre los números enteros se aproxima a 1/lnx a medida que x aumenta.

25 años después de que Gauss descubriera la aproximación Legendre lo mejoró aún más:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x - 1.08366}

Referencias

  • Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). «8.8». Algorithmic Number Theory. 1. Ed. MIT Press. p. 234. ISBN 0-262-02405-5. 
  • Weisstein, Eric W.. «Prime Counting Function» (en inglés). MathWorld. Consultado el 28 de abril de 2009.

Wikimedia foundation. 2010.

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