Serie de los inversos de los números primos

Serie de los inversos de los números primos

En el siglo III a. C., Euclides demostró la existencia de infinitos números primos. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró un resultado aún más profundo:

La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge.

El teorema, es equivalente a demostrar que:

\lim_{x \to \infty} \left ( \sum_{p \leq x} \frac{1}{p} \right ) = \infty \ \ \ \ \ p \in \mathbb{P}

He aquí algunas de las demostraciones de este resultado.

Contenido

Primera demostración (Demostración original de Euler)

Para empezar, describiremos algunos de los pasos previos usados por Euler en su demostración.

En primer lugar consideró la serie armónica :

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots

Esta serie es claramente divergente (se puede ver en el artículo serie armónica), y por supuesto, también conocido por Euler.

Usando su fórmula del producto , mostró la existencia de infinitos números primos como sigue:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}} =\prod_{p} \left( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots \right).

Aquí, el producto es sobre todos los números primos, o dicho de otra manera, el producto indexa a todos los números primos. De ahora en adelante, sin que se diga lo contrario, la suma o producto sobre el conjunto de todos los números primos se representa como p bajo el sumatorio o productorio.

Euler se dio cuenta de que si existía un número finito de primos, entonces el producto de la derecha convergería claramente, contradiciendo la divergencia de la serie armónica. En lenguaje moderno, se dice que la existencia de infinidad de números primos está reflejada por el hecho de que la función zeta de Riemann tiene un polo simple en s = 1.

Demostración

Euler, tomando el producto indicado arriba, llegó a una conclusión.

Tomó logaritmos naturales en ambos miembros de la igualdad, y utilizando las propiedades de las series geométricas y que la serie de Taylor de log(1-x) es:

\log (1-x) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \ \ \ \ \ |x| < 1 \mbox{,} \ x \in \mathbb{R}

entonces:

\begin{align} \log \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) & {} = \log \left( \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} \log \left( \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = \sum_{p} - \log(1-p^{-1}) \\ & {} = \sum_{p} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right) \\ & {} < \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_{p} \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_{p} \frac{1}{p(p-1)} \right) \\ & {} = \left( \sum_{p} \frac{1}{p} \right) + C \end{align}

para una constante C < 1. Puesto que la suma de los recíprocos de los primeros n números enteros positivos es asintótica a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a infinito ) se tiene:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \approx \log (n) \ \ \ \ \ \mbox{si } n \to \infty

que sustituyendo en la expresión de arriba y despreciando el valor de C cuando n se acerca a infinito, Euler llegó a la conclusión de que:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots = \log \log (+ \infty) \to \infty


Q.E.D.


Es también cierto que Euler comprendía que la suma de los recíprocos de todos los números primos menores que n es asintótica a log (log(n)) cuando n se aproxima a infinito, y de hecho este es el caso. Euler había llegado a esta conclusión por métodos cuestionables.

Segunda demostración (Erdős)

Una demostración elemental por reducción a lo absurdo fue descubierta por Paul Erdős y es la siguiente:

Asuma que la suma de los recíprocos de todos los números primos converge:

Defina pi como el i -ésimo número primo.

Tenemos que:

\sum_{k=1}^\infty{1\over p_{k}} = C

Entonces existe un número entero positivo i tal que:

\sum_{k=1}^\infty{1\over p_{i+k}} < {1 \over 2}

Defina Ni(x) como:

N_i(x) = \# \{ n \leq x : \ n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_i^{\alpha_i} , \ \alpha \in \mathbb{N}_0 \}

el número de enteros positivos menores que x que son divisibles únicamente por los i primeros números primos, o dicho de otra forma, que están formados por factores primos menores o iguales a pi. ( el símbolo # significa la cantidad de números que cumplen la condición )

Cualquiera de esos números puede expresarse como:

n = p_1^{\omega_1} \cdots p_i^{\omega_i} \cdot s^2,\; \omega_i\in\{0,1\}

concretamente como producto de un cuadrado por un cuadrado libre. Hay 2i opciones distintas para la parte del cuadrado libre y puesto que a lo sumo habrá √x para la parte cuadrática tenemos que:

N_i(x) \leq 2^i\cdot\sqrt{x}

El número de enteros divisibles por un primo p menores que x es { \lfloor \textstyle{x \over p} \rfloor}, así que el número de enteros menores que x que son divisibles por algún primo mayor que pi es x - Ni(x), lo denotaremos como N*i(x) y está acotado por:

N_i^*(x) = x-N_i(x) \leq \sum_{k=1}^\infty \left \lfloor \frac{x}{p_{i+k}} \right\rfloor \leq \sum_{k=1}^\infty \frac{x}{p_{i+k}} < \frac{x}{2}

Dado que:

N_i^*(x) + N_i(x) = x \ \ \ \ \forall \ \ x \in \mathbb{N}

es suficiente con encontrar un x tal que Ni(x) \scriptstyle{\leq} x/2 para llegar a una contradicción ya que N*i(x) es siempre menor que x/2. Si tomamos la desigualdad:

N_i(x) \leq 2^i\cdot\sqrt{x}

y considerando la cota máxima que es cuando Ni(x) = 2i√x:

2^i\cdot\sqrt{x} \leq \frac{x}{2}
2^{i+1} \leq \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}
x \geq 2^{2i+2}


Q.E.D.

Tercera demostración

He aquí otra demostración que da una menor estimación sobre la suma parcial, en particular, muestra como la suma crece al menos tan rápido como log (log(n)). La demostración es una adaptación de la idea de expansión del producto de Euler. De aquí en adelante, una suma o producto sobre p siempre representa una suma o producto sobre un conjunto de números primos específicos.

La demostración se basa en las siguientes cuatro desigualdades:

  • Cada número entero positivo i se puede escribir como producto de un cuadrado por un número libre de cuadrados. Esto da la siguiente desigualdad.
\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}} \le \prod_{p \le n}{\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)}\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}}

Donde para cada número i entre 1 y n el producto (expandido) contiene la parte del cuadrado libre de i y la suma contiene la parte del cuadrado de i.

\log(n+1) = \int_1^{n+1}\frac{dx}x = \sum_{i=1}^n\underbrace{\int_i^{i+1}\frac{dx}x}_{<1/i} < \sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}
1+x < \exp (x) \ \ \ \ \forall \ \ x > 0
  • El límite superior (usando una serie de la cual conocemos su comportamiento asintótico) para las sumas parciales es:
\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}} \leq 1 +\sum_{k=2}^n\underbrace{\biggl (\frac {1}{k-1}-\frac{1}{k} \biggr)}_{\geq 1/k^2}=2-\frac{1}{n} \leq 2

Combinando todas las ecuaciones vemos que:

\log (n+1) < \sum_{i=1}^n\frac{1}{i} \leq \prod_{p \le n}{\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)}\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}} < 2\prod_{p \le n}{\exp\biggl(\frac{1}{p}\biggr)}= 2\cdot \exp\biggl(\sum_{p \le n}{\frac{1}{p}}\biggr)

Dividiendo por 2 y tomando el logaritmo natural en ambos miembros nos queda que:

\log \log (n+1) - \log 2 < \sum_{p \le n}{\frac{1}{p}}

cuando n tiende a infinito obtenemos la misma conclusión que en las anteriores demostraciones. Q.E.D.

Cuarta demostración

De la desigualdad de Dusart (ver teorema de los números primos) tenemos que:

p_n < n \log n + n \log \log n \quad \mbox{para } n \geq 6.

entonces

\sum_{n=1}^\infty \frac1{ p_n} \geq \sum_{n=6}^\infty \frac1{ p_n} \geq \sum_{n=6}^\infty \frac1{ n \log n + n \log \log n} \geq \sum_{n=6}^\infty \frac1{2n \log n} = \infty

aplicando el criterio integral a la serie de la izquierda vemos que ésta diverge claramente.

Q.E.D.

Referencias

  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244.

Enlaces externos

  • http://www.EulerArchive.org (en inglés)
  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188 (Traducido al inglés) [1]
  • Ed Sandifer: "How Euler Did It.Infinitely many primes" (en inglés) [2]
  • Chris K. Caldwell: "There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?" (en inglés) [3]
  • Planetmath.org: "Prime harmonic series" (en inglés) [4]

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

  • Serie armónica (matemática) — Para el concepto musical relacionado con éste, véase serie armónica (música). En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita: Se llama así por …   Wikipedia Español

  • Número primo — Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número …   Wikipedia Español

  • Sucesión de Sylvester — Demostración gráfica de la convergencia de la suma a 1. Cada fila de k cuadrados de lado tiene un área total de , y todos los cuadra …   Wikipedia Español

  • Problema de Basilea — Saltar a navegación, búsqueda El Problema de Basilea es un famoso problema de teoría de números, planteado por primera vez por Pietro Mengoli, y resuelto por Leonhard Euler en 1735. Puesto que el problema había resistido los ataques de los… …   Wikipedia Español

  • Constante de Brun — La constante de Brun, B2, es el valor al que converge la suma de los inversos de los números primos gemelos: En 1919 Viggo Brun demostró la convergencia de la serie. Esto contrasta con el hecho de que la suma de los inversos de todos los números… …   Wikipedia Español

  • Función zeta de Riemann — ζ(s) en el plano complejo. El color de un punto s codifica el valor de ζ(s): Colores fuertes denotan valores cercanos a 0 y el tono codifica el valor del argumento. El punto blanco en s=1 es el polo de la función zeta; los puntos negros en el eje …   Wikipedia Español

  • Leonhard Euler — Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Bruck …   Wikipedia Español

  • Constante de Meissel-Mertens — La constante de Meissel Mertens, también conocida como constante de Mertens, constante de Kronecker, constante de Hadamard de la Vallée Poussin y constante de los inversos de los números primos, es una constante matemática, empleada… …   Wikipedia Español

  • Número — Este artículo trata del concepto matemático. Para el concepto lingüístico véase Número gramatical. Para otros usos de este término, véase Número (desambiguación). Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad (de una magnitud).… …   Wikipedia Español

  • Conjuntos numéricos — Uno o varios wikipedistas están trabajando actualmente en este artículo o sección. Es posible que a causa de ello haya lagunas de contenido o deficiencias de formato. Si quieres, puedes ayudar y editar, pero por favor: antes de realizar… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”