- Teorema fundamental de homomorfismos
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En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.
En la teoría de grupos, el teorema establece lo siguiente:
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- Si
es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo
tal que
, en donde
es la proyección canónica.
- Si
Por otra parte, h es inyectivo y proporciona un isomorfismo entre G/K y la imagen de f.
El homomorfismo
viene dado por
para todo g de G, y se dice que
es inducido por
.
El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.
Además
es un epimorfismo si y sólo si
lo es.
es un monomorfismo si y sólo si ker f = N
El primer teorema de isomorfía de Noether son consecuencias prácticamente inmediatas de este teorema.En términos de diagramas conmutativos
El teorema fundamental de homomorfismos puede expresarse también de la siguiente manera: si
es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo
que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:
Véase también
Enlaces externos
Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.
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