Teorema fundamental de homomorfismos

Teorema fundamental de homomorfismos
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En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.

En la teoría de grupos, el teorema establece lo siguiente:

Si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo \bar f tal que \bar f\circ\varphi=f, en donde \varphi:G\longrightarrow G/N es la proyección canónica.

Por otra parte, h es inyectivo y proporciona un isomorfismo entre G/K y la imagen de f.

El homomorfismo \bar f viene dado por

\bar f(g)=f(g)

para todo g de G, y se dice que \bar f es inducido por f\,\!.

El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.

Además

  1. \bar f es un epimorfismo si y sólo si f\,\! lo es.
  2. \ker\bar f=(\ker f/N)
  3. \bar f es un monomorfismo si y sólo si ker f = N


El primer teorema de isomorfía de Noether son consecuencias prácticamente inmediatas de este teorema.


En términos de diagramas conmutativos

El teorema fundamental de homomorfismos puede expresarse también de la siguiente manera: si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo \bar f que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

Teo Fund Homo Diag.svg

Véase también

Enlaces externos

Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.


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