Transporte paralelo

Transporte paralelo

En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.

Contenido

Campos paralelos sobre curvas diferenciables

UIn campo vectorial X sobre una curva diferenciable γ se llama paralelo si

\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0

para cualquier t.

Transporte paralelo

Sean M una variedad diferenciable con conexión \nabla y \gamma: I \longrightarrow M una curva suave. Sean t_0 \isin I y \omega_0 \isin T_{\gamma(t_0)} M. Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de γ tal que ω(t0) = ω0. ω se llama transporte paralelo de ω0 a lo largo de γ.

Geodésicas

Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión \nabla. Una curva diferenciable \gamma: I \longrightarrow M es una geodésica si \dot\gamma (como campo vectorial a lo largo de γ) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma = 0

Campos vectoriales paralelos y geodésicos

Un campo vectorial X sobre M se denomina paralelo si

\nabla_vX = 0\quad \forall v \in TM

y geodésico si

\nabla_X X = 0.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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